Контрольная работа 3 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Тема. Решение квадратных неравенств. Системы уравнений с двумя переменными
1. Решите неравенство:
1) х^2+4х-21 > 0; 3) x^2 > 81;
2) х^2 — 6х + 11 > 0; 4) х^2 +14х + 49 > 0.
2. Решите систему уравнений
2х +у = 7,
х^2 xу = 6.
3. Найдите область определения функции:
1) у = v(4x-x^2)
2) У= 8/v(12+x-x^2)
4. Решите графически систему уравнений:
y=2x-x^2
2х + у = 3.
5. При каких значениях а уравнение х^2 +8ах — 15а + 1 = О имеет два действительных корня?
6. Решите систему уравнений
х^2 -4ху + 4у^2 = 25,
х+2у = 3.
$$x^2+4x-21>0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-21)=16+84=100$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 10}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=3$$
$$x^2+4x-21=(x+7)(x-3)$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\in(-\infty;-7)\cup(3;+\infty).$$
$$x^2-6x+11>0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 11=36-44=-8$$
Так как $$D<0$$ и старший коэффициент положителен, то выражение положительно при всех $$x$$.
$$x\in(-\infty;+\infty).$$
$$x^2>81$$
$$x^2-81>0$$
$$ (x-9)(x+9)>0 $$
Отсюда
$$x\in(-\infty;-9)\cup(9;+\infty).$$
$$x^2+14x+49>0$$
$$ (x+7)^2>0 $$
Квадрат числа положителен при всех $$x$$, кроме $$x=-7$$.
$$x\in(-\infty;-7)\cup(-7;+\infty).$$
2) Из первого уравнения:
$$2x+y=7,\quad y=7-2x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2-xy=6$$
$$x^2-x(7-2x)=6$$
$$x^2-7x+2x^2=6$$
$$3x^2-7x-6=0$$
$$D=7^2-4\cdot 3\cdot(-6)=49+72=121$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 11}{6}$$
$$x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=3$$
Тогда
$$y_1=7-2\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{25}{3},\quad y_2=7-2\cdot 3=1.$$
Следовательно, решения системы:
$$\left(-\frac{2}{3};\frac{25}{3}\right),\ (3;1).$$
3) Найдём область определения функций.
1) $$y=\sqrt{4x-x^2}$$
$$4x-x^2\ge 0$$
$$x(4-x)\ge 0$$
$$x\in[0;4].$$
2) $$y=\frac{8}{\sqrt{12+x-x^2}}$$
Подкоренное выражение должно быть строго положительным:
$$12+x-x^2>0$$
$$x^2-x-12<0$$
$$ (x+3)(x-4)<0 $$
$$x\in(-3;4).$$
4) Решим графически систему
$$ \begin{cases} y=2x-x^2,\\ 2x+y=3 \end{cases} $$
Подставим $$y=3-2x$$ в первое уравнение:
$$2x-x^2=3-2x$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$ (x-1)(x-3)=0 $$
$$x=1 \text{ или } x=3.$$
Тогда
$$y=2\cdot 1-1^2=1,\quad y=2\cdot 3-3^2=-3.$$
Точки пересечения графиков:
$$ (1;1),\ (3;-3). $$
5) Для уравнения $$x^2+8ax-15a+1=0$$ дискриминант равен
$$D=(8a)^2-4(1-15a)=64a^2+60a-4.$$
Чтобы уравнение имело два действительных корня, нужно
$$D>0.$$
Решим неравенство:
$$64a^2+60a-4>0$$
$$16a^2+15a-1>0$$
$$ (16a-1)(a+1)>0 $$
Отсюда
$$a\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{1}{16};+\infty\right).$$
6) Решим систему
$$ \begin{cases} x^2-4xy+4y^2=25,\\ x+2y=3 \end{cases} $$
Первое уравнение:
$$ (x-2y)^2=25 $$
$$x-2y=5 \text{ или } x-2y=-5.$$
Из второго уравнения $$x=3-2y$$.
1) $$3-2y-2y=5$$, тогда $$-4y=2$$, $$y=-\frac12$$, $$x=4$$.
2) $$3-2y-2y=-5$$, тогда $$-4y=-8$$, $$y=2$$, $$x=-1$$.
Следовательно, решения системы:
$$ (4;-\tfrac12),\ (-1;2). $$
Ответ
1) $$(-\infty;-7)\cup(3;+\infty),\ (-\infty;+\infty),\ (-\infty;-9)\cup(9;+\infty),\ (-\infty;-7)\cup(-7;+\infty)$$
2) $$\left(-\frac{2}{3};\frac{25}{3}\right),\ (3;1)$$
3) $$x\in[0;4],\quad x\in(-3;4)$$
4) $$ (1;1),\ (3;-3) $$
5) $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{1}{16};+\infty\right)$$
6) $$ (4;-\tfrac12),\ (-1;2) $$
