Контрольная работа 3 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Тема. Решение квадратных неравенств. Системы уравнений с двумя переменными
1. Решите неравенство:
1) х^2-7х-30 > 0; 3) x^2 < 25;
2) х^2 - 4х + 6 < 0; 4) х^2 - 6х + 9 < = 0.
2. Решите систему уравнений
х — 4у = 3,
ху + 2у = 9.
3. Найдите область определения функции:
1) у = v(7x-x^2)
2) У= 9/v(15-2x-x^2)
4. Решите графически систему уравнений:
y=x^2-4x
2х - у = 8.
5. При каких значениях а уравнение х^2 - 6ах - 8а + 1 = О не имеет корней?
6. Решите систему уравнений
х^2 + 6ху + 9у^2 = 16,
х-Зу = -2.
$$x^2-7x-30>0$$
$$D=7^2+4\cdot 30=169$$
$$x_1=\frac{7-13}{2}=-3,\quad x_2=\frac{7+13}{2}=10$$
$$x^2-7x-30=(x+3)(x-10)$$
$$x<-3 \text{ или } x>10$$
$$x\in(-\infty;-3)\cup(10;+\infty)$$
$$x^2-4x+6<0$$
$$D=4^2-4\cdot 6=-8<0$$
Так как $$a=1>0$$ и дискриминант отрицателен, неравенство решений не имеет.
$$x^2<25$$
$$x^2-25<0$$
$$ (x+5)(x-5)<0 $$
$$-5<x<5$$
$$x\in(-5;5)$$
$$x^2-6x+9\le 0$$
$$ (x-3)^2\le 0 $$
Квадрат числа неотрицателен, значит возможно только равенство нулю:
$$x=3$$
$$ \begin{cases} x-4y=3,\\ xy+2y=9 \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$x=4y+3$$
Подставим во второе:
$$y(4y+3)+2y=9$$
$$4y^2+5y-9=0$$
$$D=5^2+4\cdot 4\cdot 9=169$$
$$y_1=\frac{-5-13}{8}=-\frac{9}{4},\quad y_2=\frac{-5+13}{8}=1$$
Тогда:
$$x_1=4\left(-\frac{9}{4}\right)+3=-6,\quad x_2=4\cdot 1+3=7$$
Получаем пары решений:
$$(-6;\,-\frac{9}{4}),\ (7;\,1)$$
1) $$y=\sqrt{7x-x^2}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$7x-x^2\ge 0$$
$$x(7-x)\ge 0$$
$$x\in[0;7]$$
2) $$y=\frac{9}{\sqrt{15-2x-x^2}}$$
Знаменатель должен быть определён и не равен нулю, значит:
$$15-2x-x^2>0$$
$$x^2+2x-15<0$$
$$ (x+5)(x-3)<0 $$
$$x\in(-5;3)$$
$$ \begin{cases} y=x^2-4x,\\ 2x-y=8 \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$y=2x-8$$
Найдём точки пересечения графиков:
$$x^2-4x=2x-8$$
$$x^2-6x+8=0$$
$$ (x-2)(x-4)=0 $$
$$x=2 \text{ или } x=4$$
Тогда:
$$y=2\cdot 2-8=-4,\quad y=2\cdot 4-8=0$$
Точки пересечения: $$ (2;\,-4) $$ и $$ (4;\,0) $$.
$$x^2-6ax-8a+1=0$$
Уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицателен:
$$D=( -6a)^2-4(1-8a)=36a^2+32a-4$$
$$36a^2+32a-4<0$$
$$9a^2+8a-1<0$$
$$D_1=8^2+4\cdot 9=100$$
$$a_1=\frac{-8-10}{18}=-1,\quad a_2=\frac{-8+10}{18}=\frac19$$
Так как коэффициент при $$a^2$$ положительный, неравенство выполняется между корнями:
$$a\in\left(-1;\frac19\right)$$
$$ \begin{cases} x^2+6xy+9y^2=16,\\ x-3y=-2 \end{cases} $$
Первое уравнение преобразуем:
$$ (x+3y)^2=16 $$
$$x+3y=4 \text{ или } x+3y=-4$$
Из второго уравнения:
$$x=3y-2$$
1) Если $$x+3y=4$$, то
$$3y-2+3y=4$$
$$6y=6,\quad y=1,\quad x=1$$
2) Если $$x+3y=-4$$, то
$$3y-2+3y=-4$$
$$6y=-2,\quad y=-\frac13,\quad x=-3$$
Получаем решения:
$$(-3;\,-\frac13),\ (1;\,1)$$
Ответ
1) $$x\in(-\infty;-3)\cup(10;+\infty),\ \varnothing,\ x\in(-5;5),\ x=3$$
2) $$(-6;\,-\frac94),\ (7;\,1)$$
3) $$x\in[0;7],\ x\in(-5;3)$$
4) $$(2;\,-4),\ (4;\,0)$$
5) $$a\in\left(-1;\frac19\right)$$
6) $$(-3;\,-\frac13),\ (1;\,1)$$
