Упр.244 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 125, а сумма трёх её первых членов равна 124. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$.

По условию сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $$125$$, значит

$$\frac{b_1}{1-q}=125.$$

Отсюда

$$b_1=125(1-q).$$

Сумма трёх первых членов прогрессии:

$$S_3=\frac{b_1(q^3-1)}{q-1}=124.$$

Подставим $$b_1=125(1-q)=-125(q-1)$$:

$$\frac{-125(q-1)(q^3-1)}{q-1}=124,$$

$$-125(q^3-1)=124,$$

$$q^3-1=-\frac{124}{125},$$

$$q^3=\frac{1}{125},$$

$$q=\sqrt[3]{\frac{1}{125}}=\frac{1}{5}=0{,}2.$$

Тогда

$$b_1=125(1-0{,}2)=125\cdot 0{,}8=100.$$

Ответ

$$b_1=100,\quad q=0{,}2.$$