Упр.244 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 162, а сумма четырёх её первых членов равна 160. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$.

По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=162,$$

откуда

$$b_1=162(1-q).$$

Сумма первых четырёх членов:

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=160.$$

Подставим найденное выражение для $$b_1$$:

$$\frac{162(1-q)(q^4-1)}{q-1}=160.$$

Так как $$1-q=-(q-1)$$, получаем:

$$-162(q^4-1)=160,$$

$$q^4-1=-\frac{80}{81},$$

$$q^4=\frac{1}{81}.$$

Тогда

$$q=\pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\pm \frac{1}{3}.$$

Найдём $$b_1$$:

при $$q=\frac{1}{3}$$

$$b_1=162\left(1-\frac{1}{3}\right)=162\cdot \frac{2}{3}=108;$$

при $$q=-\frac{1}{3}$$

$$b_1=162\left(1+\frac{1}{3}\right)=162\cdot \frac{4}{3}=216.$$

Проверка условия сходимости бесконечной геометрической прогрессии: $$|q|<1$$, оба значения подходят.

Ответ

$$b_1=108,\ q=\frac{1}{3}$$ или $$b_1=216,\ q=-\frac{1}{3}.$$