Упр.244 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 27, а сумма трёх её первых членов равна 35. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$.

По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем:

$$\frac{b_1}{1-q}=27.$$

Отсюда

$$b_1=27(1-q).$$

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии:

$$S_3=\frac{b_1(q^3-1)}{q-1}=35.$$

Подставим $$b_1=27(1-q)=-27(q-1)$$:

$$\frac{-27(q-1)(q^3-1)}{q-1}=35,$$

$$-27(q^3-1)=35,$$

$$q^3-1=-\frac{35}{27},$$

$$q^3=-\frac{8}{27},$$

$$q=-\frac{2}{3}.$$

Теперь найдём первый член:

$$b_1=27\left(1-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)=27\cdot\frac{5}{3}=45.$$

Ответ

$$b_1=45,\quad q=-\frac{2}{3}.$$