Упр.238 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии (yn), если y4 — y2 = -24, y3 +y2 =6, а сумма всех членов Sn = -182.

Обозначим первый член геометрической прогрессии через $$y_1$$, а знаменатель — через $$q$$. Тогда

$$y_2=y_1q,\quad y_3=y_1q^2,\quad y_4=y_1q^3.$$

Из условия получаем систему:

$$ \begin{cases} y_4-y_2=-24,\\ y_3+y_2=6. \end{cases} $$

Подставим выражения через $$y_1$$ и $$q$$:

$$ \begin{cases} y_1q^3-y_1q=-24,\\ y_1q^2+y_1q=6. \end{cases} $$

Вынесем $$y_1$$ за скобки:

$$ \begin{cases} y_1(q^3-q)=-24,\\ y_1(q^2+q)=6. \end{cases} $$

Выразим $$y_1$$ из обоих уравнений:

$$ y_1=\frac{24}{q-q^3},\qquad y_1=\frac{6}{q^2+q}. $$

Приравняем правые части:

$$ \frac{24}{q-q^3}=\frac{6}{q^2+q}. $$

Упростим:

$$ 4(q^2+q)=q-q^3, $$
$$ q^3+4q^2+3q=0, $$
$$ q(q^2+4q+3)=0. $$

Так как $$q\neq 0$$, получаем:

$$ q^2+4q+3=0, $$
$$ (q+1)(q+3)=0. $$

Следовательно, $$q=-1$$ или $$q=-3$$. Значение $$q=-1$$ не подходит, так как тогда $$q^2+q=0$$ и из второго уравнения система не имеет смысла. Значит,

$$q=-3.$$

Найдём $$y_1$$:

$$ y_1=\frac{6}{q^2+q}=\frac{6}{(-3)^2+(-3)}=\frac{6}{9-3}=1. $$

Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$ S_n=\frac{y_1(q^n-1)}{q-1}. $$

По условию $$S_n=-182$$, значит

$$ \frac{1\cdot((-3)^n-1)}{-3-1}=-182, $$
$$ \frac{(-3)^n-1}{-4}=-182, $$
$$ (-3)^n-1=728, $$
$$ (-3)^n=729=3^6. $$

Отсюда

$$ n=6. $$

Ответ

$$y_1=1,\quad q=-3,\quad n=6.$$