Упр.238 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии (сn), если с6 — с4 = 135, с6 -с5 = 81, а сумма всех членов Sn = 665.

Пусть $$c_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$c_4=c_1q^3,\quad c_5=c_1q^4,\quad c_6=c_1q^5.$$

По условию:

$$c_6-c_4=135,\quad c_6-c_5=81.$$

Подставим формулы членов прогрессии:

$$c_1q^5-c_1q^3=135,$$
$$c_1q^5-c_1q^4=81.$$

Вынесем $$c_1$$ за скобки:

$$c_1(q^5-q^3)=135,$$
$$c_1(q^5-q^4)=81.$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{q^5-q^3}{q^5-q^4}=\frac{135}{81}=\frac{5}{3}.$$

Вынесем общие множители:

$$\frac{q^3(q^2-1)}{q^4(q-1)}=\frac{5}{3},$$
$$\frac{q+1}{q}=\frac{5}{3}.$$

Тогда

$$3(q+1)=5q,$$
$$3q+3=5q,$$
$$2q=3,$$
$$q=\frac{3}{2}.$$

Найдём $$c_1$$ из уравнения $$c_1(q^5-q^4)=81$$:

$$c_1\left(\left(\frac{3}{2}\right)^5-\left(\frac{3}{2}\right)^4\right)=81,$$
$$c_1\left(\frac{243}{32}-\frac{81}{16}\right)=81,$$
$$c_1\left(\frac{243}{32}-\frac{162}{32}\right)=81,$$
$$c_1\cdot \frac{81}{32}=81,$$
$$c_1=32.$$

Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{c_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Подставим данные:

$$665=\frac{32\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)}{\frac{3}{2}-1},$$
$$665=64\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right),$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^n-1=\frac{665}{64},$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^n=\frac{729}{64}=\left(\frac{3}{2}\right)^6.$$

Следовательно, $$n=6$$.

Ответ

$$c_1=32,\quad q=\frac{3}{2},\quad n=6.$$