Упр.233 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) b4=100, q=4;
2) b1=2v2, b7=16v2, q > 0;
3) b2=12, b5=324;

1. $$b_4=b_1q^3$$

   $$100=b_1\cdot 4^3$$

   $$100=64b_1$$

   $$b_1=\frac{100}{64}=\frac{25}{16}$$

   Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии:

   $$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{\frac{25}{16}(4^4-1)}{4-1}$$

   $$S_4=\frac{25}{16}\cdot\frac{255}{3}=\frac{2125}{16}=132\frac{13}{16}$$

2. $$b_7=b_1q^6$$

   $$16\sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot q^6$$

   $$q^6=8$$

   Так как $$q>0$$, то

   $$q=\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}$$

   Тогда

   $$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{2\sqrt{2}\big((\sqrt{2})^4-1\big)}{\sqrt{2}-1}$$

   $$S_4=\frac{2\sqrt{2}(4-1)}{\sqrt{2}-1}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$S_4=\frac{6\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=6\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=12+6\sqrt{2}$$

3. $$b_2=b_1q,\qquad b_5=b_1q^4$$

   Разделим второе равенство на первое:

   $$\frac{b_5}{b_2}=q^3$$

   $$\frac{324}{12}=q^3$$

   $$q^3=27,\qquad q=3$$

   Найдём первый член:

   $$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{12}{3}=4$$

   Теперь вычислим сумму:

   $$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{4(3^4-1)}{3-1}$$

   $$S_4=\frac{4(81-1)}{2}=160$$

Ответ

1) $$132\frac{13}{16}$$; 2) $$12+6\sqrt{2}$$; 3) $$160$$.