Упр.230 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 90. Если из этих чисел вычесть соответственно 7, 18 и 2, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $$a_1,\ a_2,\ a_3,$$ где разность прогрессии равна $$d.$$ Тогда

$$a_2=a_1+d,\qquad a_3=a_1+2d.$$

По условию их сумма равна $$90$$:

$$a_1+a_2+a_3=90,$$

$$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=90,$$

$$3a_1+3d=90,$$

$$a_1+d=30.$$

Значит,

$$a_1=30-d,\qquad a_2=30,\qquad a_3=30+d.$$

После вычитания из этих чисел соответственно $$7,\ 18,\ 2$$ получаем:

$$b_1=a_1-7=23-d,$$

$$b_2=a_2-18=12,$$

$$b_3=a_3-2=28+d.$$

Так как числа $$b_1,\ b_2,\ b_3$$ образуют геометрическую прогрессию, то

$$b_2^2=b_1b_3.$$

Тогда

$$12^2=(23-d)(28+d),$$

$$144=644-5d-d^2,$$

$$d^2+5d-500=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-500)=25+2000=2025,$$

$$d=\frac{-5\pm 45}{2}.$$

Получаем:

$$d_1=-25,\qquad d_2=20.$$

Если $$d=-25,$$, то

$$a_1=30-(-25)=55,\qquad a_2=30,\qquad a_3=30+(-25)=5.$$

Если $$d=20,$$, то

$$a_1=30-20=10,\qquad a_2=30,\qquad a_3=30+20=50.$$

Ответ

$$55,\ 30,\ 5$$ или $$10,\ 30,\ 50.$$