Упр.227 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) b6=4b4 и b2+b5=108;
2) b3+b6=420 и b4-b5+b6=315;

1) Для геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}$$ имеем:

$$b_6=b_1q^5,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_2=b_1q,\quad b_5=b_1q^4.$$

Из условия $$b_6=4b_4$$ получаем:

$$b_1q^5=4b_1q^3,$$
$$q^2=4,$$
$$q=\pm 2.$$

Из условия $$b_2+b_5=108$$:

$$b_1q+b_1q^4=108,$$
$$b_1(q+q^4)=108.$$

Если $$q=2$$, то

$$b_1(2+16)=108,$$
$$18b_1=108,$$
$$b_1=6.$$

Если $$q=-2$$, то

$$b_1(-2+16)=108,$$
$$14b_1=108,$$
$$b_1=\frac{54}{7}.$$

Значит, в первом пункте возможны два ответа: $$b_1=6,\ q=2$$ или $$b_1=\frac{54}{7},\ q=-2$$.

2) Запишем данные члены прогрессии:

$$b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4,\quad b_6=b_1q^5.$$

Из условия $$b_3+b_6=420$$:

$$b_1q^2+b_1q^5=420,$$
$$b_1(q^2+q^5)=420.$$

Из условия $$b_4-b_5+b_6=315$$:

$$b_1q^3-b_1q^4+b_1q^5=315,$$
$$b_1(q^3-q^4+q^5)=315.$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{q^2+q^5}{q^3-q^4+q^5}=\frac{420}{315}=\frac{4}{3}.$$

Сократим на $$q^2$$:

$$\frac{1+q^3}{q-q^2+q^3}=\frac{4}{3}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$3(1+q^3)=4(q-q^2+q^3),$$
$$3+3q^3=4q-4q^2+4q^3,$$
$$q^3-4q^2+4q-3=0.$$

Разложим на множители:

$$q^3-4q^2+4q-3=(q-3)(q^2-q+1)=0.$$

Уравнение $$q^2-q+1=0$$ не имеет действительных корней, значит:

$$q=3.$$

Найдём $$b_1$$ из уравнения $$b_3+b_6=420$$:

$$b_1(3^2+3^5)=420,$$
$$b_1(9+243)=420,$$
$$252b_1=420,$$
$$b_1=\frac{420}{252}=\frac{5}{3}.$$

Ответ

1) $$b_1=6,\ q=2$$ или $$b_1=\frac{54}{7},\ q=-2$$; 2) $$b_1=\frac{5}{3},\ q=3$$.