Упр.219 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) 5 + 9 + 13 +… + (4n + 1) = 324, где n — натуральное число;
2) 4 + 10 + 16 +… + х = 310, где х — натуральное числ

1) Рассмотрим сумму как сумму первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$a_1=5,\quad d=9-5=4.$$

Тогда

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)=324.$$

Подставим значения:

$$\frac{n}{2}\bigl(10+4(n-1)\bigr)=324$$

$$\frac{n}{2}(4n+6)=324$$

$$n(2n+3)=324$$

$$2n^2+3n-324=0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-324)=9+2592=2601,$$

$$\sqrt{D}=51.$$

$$n=\frac{-3\pm 51}{4}.$$

Получаем:

$$n_1=\frac{48}{4}=12,\qquad n_2=\frac{-54}{4}=-13{,}5.$$

Так как $$n\in \mathbb{N},$$ подходит только $$n=12.$$

2) Здесь также имеем арифметическую прогрессию:

$$a_1=4,\quad d=10-4=6.$$

Сумма первых $$n$$ членов равна $$310$$:

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)=310.$$

Подставим:

$$\frac{n}{2}\bigl(8+6(n-1)\bigr)=310$$

$$\frac{n}{2}(6n+2)=310$$

$$n(3n+1)=310$$

$$3n^2+n-310=0.$$

Найдём корни:

$$D=1^2-4\cdot 3\cdot(-310)=1+3720=3721,$$

$$\sqrt{D}=61.$$

$$n=\frac{-1\pm 61}{6}.$$

Получаем:

$$n_1=\frac{60}{6}=10,\qquad n_2=\frac{-62}{6}=-\frac{31}{3}.$$

Подходит $$n=10.$$ Тогда искомый последний член прогрессии:

$$x=a_{10}=a_1+d(10-1)=4+6\cdot 9=58.$$

Ответ

1) $$n=12$$; 2) $$x=58$$.