Упр.218 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма пяти первых её членов равна 10, а сумма двенадцати первых членов равна -102.

Для арифметической прогрессии используем формулу суммы первых n членов:

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

Из условия:

$$S_5=10,\qquad S_{12}=-102.$$

Составим уравнения.

1) Для первых пяти членов:

$$10=\frac{5}{2}(2a_1+4d).$$

Умножим на $$\frac{2}{5}$$:

$$2a_1+4d=4.$$

Отсюда

$$2a_1=4-4d,$$

$$a_1=2-2d.$$

2) Для первых двенадцати членов:

$$-102=\frac{12}{2}(2a_1+11d).$$

Тогда

$$2a_1+11d=-17.$$

Подставим $$a_1=2-2d$$:

$$2(2-2d)+11d=-17,$$

$$4-4d+11d=-17,$$

$$7d=-21,$$

$$d=-3.$$

Теперь найдём первый член:

$$a_1=2-2(-3)=2+6=8.$$

Ответ

$$a_1=8,\quad d=-3.$$