Упр.207 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии (аn), если а5+а7- а12 = -9 и а3 + а20 =74.

Для арифметической прогрессии $$a_n=a_1+d(n-1).$$ Тогда

$$a_5=a_1+4d,\quad a_7=a_1+6d,\quad a_{12}=a_1+11d,$$
$$a_3=a_1+2d,\quad a_{20}=a_1+19d.$$

Из первого условия:

$$a_5+a_7-a_{12}=-9$$
$$\left(a_1+4d\right)+\left(a_1+6d\right)-\left(a_1+11d\right)=-9$$
$$a_1-d=-9,$$
$$a_1=d-9.$$

Из второго условия:

$$a_3+a_{20}=74$$
$$\left(a_1+2d\right)+\left(a_1+19d\right)=74$$
$$2a_1+21d=74.$$

Подставим $$a_1=d-9$$:

$$2(d-9)+21d=74$$
$$23d=92$$
$$d=4.$$

Тогда

$$a_1=4-9=-5.$$

Найдём сумму первых шестнадцати членов:

$$S_{16}=\frac{2a_1+d(16-1)}{2}\cdot 16$$
$$S_{16}=8(2a_1+15d)$$
$$S_{16}=8\bigl(2\cdot(-5)+15\cdot 4\bigr)$$
$$S_{16}=8(-10+60)=8\cdot 50=400.$$

Ответ

$$400$$