Упр.207 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите сумму восемнадцати первых членов арифметической прогрессии (аn), если а11 — а3 — а8 = 27 и а6 + а14 =86.
Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда
$$a_{11}=a_1+10d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_8=a_1+7d,$$
$$a_6=a_1+5d,\quad a_{14}=a_1+13d.$$
Из условия получаем систему:
$$ \begin{cases} a_{11}-a_3-a_8=27,\\ a_6+a_{14}=86. \end{cases} $$
Подставим выражения через $$a_1$$ и $$d$$:
$$ (a_1+10d)-(a_1+2d)-(a_1+7d)=27, $$
$$ -a_1+d=27, $$
$$ a_1=d-27. $$
Во втором уравнении:
$$ (a_1+5d)+(a_1+13d)=86, $$
$$ 2a_1+18d=86. $$
Подставим $$a_1=d-27$$:
$$ 2(d-27)+18d=86, $$
$$ 2d-54+18d=86, $$
$$ 20d=140, $$
$$ d=7. $$
Тогда
$$ a_1=7-27=-20. $$
Найдём сумму первых восемнадцати членов:
$$ S_{18}=\frac{2a_1+d(18-1)}{2}\cdot 18 $$
$$ S_{18}=9(2a_1+17d). $$
Подставим найденные значения:
$$ S_{18}=9\bigl(2\cdot(-20)+17\cdot 7\bigr) $$
$$ S_{18}=9(-40+119)=9\cdot 79=711. $$
Ответ
$$711$$
