Упр.207 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (аn), если а7 + а13 = 21 и а8 + а12 -а15 = = 3.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_7=a_1+6d,\quad a_{13}=a_1+12d,$$
$$a_8=a_1+7d,\quad a_{12}=a_1+11d,\quad a_{15}=a_1+14d.$$

Из условия получаем систему:

$$ \begin{cases} a_7+a_{13}=21,\\ a_8+a_{12}-a_{15}=3. \end{cases} $$

Подставим выражения через $$a_1$$ и $$d$$:

$$ (a_1+6d)+(a_1+12d)=21, $$
$$ (a_1+7d)+(a_1+11d)-(a_1+14d)=3. $$

Упростим второе уравнение:

$$a_1+4d=3,$$
$$a_1=3-4d.$$

Подставим в первое уравнение:

$$ 2a_1+18d=21, $$
$$ 2(3-4d)+18d=21, $$
$$ 6-8d+18d=21, $$
$$ 10d=15, $$
$$ d=1{,}5. $$

Тогда

$$a_1=3-4\cdot1{,}5=3-6=-3.$$

Найдём сумму первых двадцати членов:

$$ S_{20}=\frac{2a_1+d(20-1)}{2}\cdot 20 =10(2a_1+19d). $$

Подставим найденные значения:

$$ S_{20}=10\bigl(2\cdot(-3)+19\cdot1{,}5\bigr) =10(-6+28{,}5) =10\cdot22{,}5 =225. $$

Ответ

$$225$$