Упр.201 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: При каком значении b значения выражений 3Ь +1, 4b -1, b^2 + b и b^2 + b + 1 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Обозначим данные выражения как члены арифметической прогрессии:

$$a_1=3b+1,\quad a_2=4b-1,\quad a_3=b^2+b,\quad a_4=b^2+b+1.$$

Для арифметической прогрессии выполняется условие:

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

Подставим выражения:

$$4b-1=\frac{(3b+1)+(b^2+b)}{2}.$$

Умножим на 2:

$$8b-2=b^2+4b+1.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$b^2-4b+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,$$

$$b=\frac{4\pm 2}{2}.$$

Получаем:

$$b=1 \quad \text{или} \quad b=3.$$

Проверим второе условие арифметической прогрессии:

$$a_3=\frac{a_2+a_4}{2}.$$

Подставим:

$$b^2+b=\frac{(4b-1)+(b^2+b+1)}{2}.$$

Умножим на 2:

$$2b^2+2b=b^2+5b,$$

$$b^2-3b=0,$$

$$b(b-3)=0.$$

Отсюда:

$$b=0 \quad \text{или} \quad b=3.$$

Общее значение, удовлетворяющее обоим условиям, — это $$b=3.$$

Найдём члены прогрессии:

$$a_1=3\cdot 3+1=10,$$

$$a_2=4\cdot 3-1=11,$$

$$a_3=3^2+3=12,$$

$$a_4=3^2+3+1=13.$$

Ответ

$$b=3,$$ члены арифметической прогрессии: $$10,\ 11,\ 12,\ 13.$$