Упр.201 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: При каком значении n значения выражений n^2, 2n + 3, Зn + 4 и n^2 + n + 7 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Обозначим данные выражения как члены арифметической прогрессии:

$$a_1=n^2,\quad a_2=2n+3,\quad a_3=3n+4,\quad a_4=n^2+n+7.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен полусумме соседних:

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

Тогда

$$2n+3=\frac{n^2+(3n+4)}{2},$$

$$4n+6=n^2+3n+4,$$

$$n^2-n-2=0,$$

$$\left(n-2\right)\left(n+1\right)=0.$$

Отсюда

$$n=2 \quad \text{или} \quad n=-1.$$

Проверим условие для третьего члена:

$$a_3=\frac{a_2+a_4}{2}.$$

Подставим:

$$3n+4=\frac{(2n+3)+(n^2+n+7)}{2},$$

$$6n+8=n^2+3n+10,$$

$$n^2-3n+2=0,$$

$$\left(n-1\right)\left(n-2\right)=0.$$

Отсюда

$$n=1 \quad \text{или} \quad n=2.$$

Общее значение, удовлетворяющее обоим условиям, равно

$$n=2.$$

Найдём члены прогрессии:

$$a_1=2^2=4,$$

$$a_2=2\cdot 2+3=7,$$

$$a_3=3\cdot 2+4=10,$$

$$a_4=2^2+2+7=13.$$

Ответ

$$n=2,$$ члены арифметической прогрессии: $$4,\ 7,\ 10,\ 13.$$