Упр.200 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: При каком значении x значения выражений 4x+5, 7x-1и x^2+2 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_didakt9 var3/200 95

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии:

$$a_1=4x+5,\quad a_2=7x-1,\quad a_3=x^2+2.$$

Для трёх последовательных членов арифметической прогрессии выполняется условие:

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

Подставим выражения:

$$7x-1=\frac{(4x+5)+(x^2+2)}{2}.$$

Умножим на 2:

$$14x-2=x^2+4x+7.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-10x+9=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=100-36=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=1,\quad x_2=9.$$

Найдём члены прогрессии.

Если $$x=1,$$ то

$$a_1=4\cdot 1+5=9,\quad a_2=7\cdot 1-1=6,\quad a_3=1^2+2=3.$$

Если $$x=9,$$ то

$$a_1=4\cdot 9+5=41,\quad a_2=7\cdot 9-1=62,\quad a_3=9^2+2=83.$$

Ответ

$$x=1,$$ прогрессия: $$9,\ 6,\ 3.$$

$$x=9,$$ прогрессия: $$41,\ 62,\ 83.$$