Контрольная работа 2 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Тема. Функция.Квадратичная функция, её график и свойства
1. Функция задана формулой f(x) = 1/2х^2 + Зх. Найдите:
1) f(2) и f(-1);
2) нули функции.
2. Найдите область определения функции:
1) f(x) = (x^2+4)/х2 — 10х + 24;
2) f(х) = v(х + 5) + 6/(x^2-4).
3. Постройте график функции f(х) = х^2 + 2х — 3. Используя график, найдите:
1) область значений данной функции;
2) промежуток возрастания функции;
3) множество решений неравенства f(х) > 0.
4. Постройте график функции:
1) f(х) = V(x — 3); 2) f(х) = vх- 3.
5. При каких значениях р и q вершина параболы у = х^2 + рх + q находится в точке F (-4; 6)?

1. $$f(x)=\frac12x^2+3x$$

   1) Найдём значения функции:

   $$f(2)=\frac12\cdot 2^2+3\cdot 2=\frac12\cdot 4+6=2+6=8$$

   $$f(-1)=\frac12\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)=\frac12-3=-2{,}5$$

   2) Найдём нули функции:

   $$\frac12x^2+3x=0$$

   $$x^2+6x=0$$

   $$x(x+6)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=-6$$

2. 1) $$f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-10x+24}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$x^2-10x+24\ne 0$$

   $$x^2-10x+24=(x-4)(x-6)$$

   $$x\ne 4,\quad x\ne 6$$

   Значит,

   $$D(f)=(-\infty;4)\cup(4;6)\cup(6;+\infty)$$

   2) $$f(x)=\sqrt{x+5}+\frac{6}{x^2-4}$$

   Для корня:

   $$x+5\ge 0,\quad x\ge -5$$

   Для дроби:

   $$x^2-4\ne 0,\quad x\ne -2,\quad x\ne 2$$

   Тогда

   $$D(f)=[-5;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$

3. $$f(x)=x^2+2x-3$$

   Найдём вершину параболы:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1$$

   $$y_0=f(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)-3=1-2-3=-4$$

   Вершина: $$(-1;-4)$$, ветви направлены вверх.

   Тогда область значений:

   $$E(f)=[-4;+\infty)$$

   Промежуток возрастания:

   $$x\in[-1;+\infty)$$

   Решим неравенство $$f(x)>0$$:

   $$x^2+2x-3>0$$

   $$ (x+3)(x-1)>0 $$

   $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$

4. 1) $$f(x)=\sqrt{x-3}$$

   Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы вправо.

   Область определения:

   $$x-3\ge 0,\quad x\ge 3$$

   2) $$f(x)=\sqrt{x}-3$$

   Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы вниз.

   Область определения:

   $$x\ge 0$$

5. Вершина параболы $$y=x^2+px+q$$ находится в точке $$(-4;6)$$.

   Координата абсциссы вершины:

   $$x_0=-\frac{p}{2}=-4$$

   $$p=8$$

   Подставим координаты вершины в уравнение:

   $$6=(-4)^2+8\cdot(-4)+q$$

   $$6=16-32+q$$

   $$q=22$$

Ответ

1) $$f(2)=8$$, $$f(-1)=-2{,}5$$; нули функции: $$-6$$ и $$0$$.

2) $$D(f)=(-\infty;4)\cup(4;6)\cup(6;+\infty)$$; $$D(f)=[-5;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$.

3) $$E(f)=[-4;+\infty)$$; $$x\in[-1;+\infty)$$; $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$.

4) $$f(x)=\sqrt{x-3}$$ — сдвиг вправо на 3; $$f(x)=\sqrt{x}-3$$ — сдвиг вниз на 3.

5) $$p=8,\ q=22$$.