Упр.197 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) a5+a13=35 и a4+a8=29;
2) a4+a10=16 и a2•a6=-12;

1) Запишем данные члены арифметической прогрессии через $$a_1$$ и $$d$$:

$$ a_5=a_1+4d,\quad a_{13}=a_1+12d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_8=a_1+7d $$

Тогда

$$ a_5+a_{13}=35 $$
$$ (a_1+4d)+(a_1+12d)=35 $$
$$ 2a_1+16d=35 $$

$$ a_4+a_8=29 $$
$$ (a_1+3d)+(a_1+7d)=29 $$
$$ 2a_1+10d=29 $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ (2a_1+16d)-(2a_1+10d)=35-29 $$
$$ 6d=6 $$
$$ d=1 $$

Подставим в уравнение $$2a_1+10d=29$$:

$$ 2a_1+10=29 $$
$$ 2a_1=19 $$
$$ a_1=\frac{19}{2} $$

2) Аналогично:

$$ a_4=a_1+3d,\quad a_{10}=a_1+9d,\quad a_2=a_1+d,\quad a_6=a_1+5d $$

Из условия

$$ a_4+a_{10}=16 $$
$$ (a_1+3d)+(a_1+9d)=16 $$
$$ 2a_1+12d=16 $$
$$ a_1=8-6d $$

Теперь используем второе условие:

$$ a_2\cdot a_6=-12 $$
$$ (a_1+d)(a_1+5d)=-12 $$
$$ (8-6d+d)(8-6d+5d)=-12 $$
$$ (8-5d)(8-d)=-12 $$
$$ 64-8d-40d+5d^2=-12 $$
$$ 5d^2-48d+76=0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-48)^2-4\cdot 5\cdot 76=2304-1520=784 $$
$$ \sqrt{D}=28 $$
$$ d=\frac{48\pm 28}{10} $$
$$ d_1=2,\quad d_2=7{,}6 $$

Найдём соответствующие значения $$a_1$$:

$$ a_1=8-6\cdot 2=-4 $$

$$ a_1=8-6\cdot 7{,}6=-37{,}6 $$

Ответ

1) $$a_1=\frac{19}{2},\ d=1$$; 2) $$a_1=-4,\ d=2$$ или $$a_1=-37{,}6,\ d=7{,}6$$.