Упр.146 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Две точки двигаются по окружности в одном направлении. Первая точка проходит окружность на 2 с быстрее второй и догоняет её через каждые 12 с. За какое время каждая точка проходит окружность? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_didakt9 var1/146 95

Пусть $$x$$ — угловая скорость первой точки, а $$y$$ — угловая скорость второй точки, тогда время прохождения окружности равно соответственно $$\frac{360}{x}$$ и $$\frac{360}{y}$$ секунд.

По условию первая точка проходит окружность на $$2$$ с быстрее второй и догоняет её через каждые $$12$$ с. Значит, за $$12$$ с первая точка делает на один полный оборот больше второй:

$$ \frac{360}{y}-\frac{360}{x}=2 $$
$$ 12x-12y=360 $$
$$ x-y=30 $$
$$ y=x-30 $$

Подставим в первое уравнение:

$$ \frac{360}{x-30}-\frac{360}{x}=2 $$
$$ \frac{180}{x-30}-\frac{180}{x}=1 $$
$$ 180x-180(x-30)=x(x-30) $$
$$ 180x-180x+5400=x^2-30x $$
$$ x^2-30x-5400=0 $$

Найдём корни:

$$ D=30^2+4\cdot 5400=900+21600=22500 $$
$$ x_{1,2}=\frac{30\pm 150}{2} $$
$$ x_1=-60,\quad x_2=90 $$

Так как скорость не может быть отрицательной, получаем:

$$ x=90,\qquad y=90-30=60 $$

Тогда время прохождения окружности:

$$ \frac{360}{90}=4 $$
$$ \frac{360}{60}=6 $$

Ответ

$$4$$ с; $$6$$ с.