Упр.144 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Из городов А и В, расстояние между которыми равно 280 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Первый автомобиль приехал в город В через 1 ч 30 мин после встречи, а второй в город А — через 2 ч 40 мин после встречи. Найдите, с какой скоростью двигался каждый автомобиль и через какое время после начала движения состоялась их встреча.

Обозначим скорости автомобилей через $$x$$ км/ч и $$y$$ км/ч, а время до встречи — через $$t$$ ч.

Тогда до встречи первый автомобиль проехал $$tx$$ км, а второй — $$ty$$ км.

После встречи первый автомобиль ехал до города $$B$$ еще $$1\text{ ч }30\text{ мин}=\frac{3}{2}\text{ ч}$$, значит, он прошел $$\frac{3}{2}x$$ км. Второй автомобиль после встречи ехал до города $$A$$ еще $$2\text{ ч }40\text{ мин}=\frac{8}{3}\text{ ч}$$, значит, он прошел $$\frac{8}{3}y$$ км.

Составим систему:

$$ \begin{cases} tx+ty=280,\\ \frac{3}{2}x=ty,\\ \frac{8}{3}y=tx. \end{cases} $$

Из второго и третьего уравнений получаем:

$$ \frac{\frac{8}{3}y}{\frac{3}{2}x}=\frac{tx}{ty} $$

Но удобнее сразу выразить $$tx$$ и $$ty$$:

$$ ty=\frac{3}{2}x,\qquad tx=\frac{8}{3}y. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ \frac{8}{3}y+\frac{3}{2}x=280. $$

Из равенства $$tx=ty\cdot \frac{8/3}{3/2}$$ получаем соотношение скоростей:

$$ \frac{tx}{ty}=\frac{x}{y}=\frac{4}{3}, $$

значит,

$$ x=\frac{4}{3}y. $$

Подставим в уравнение $$tx+ty=280$$ в виде

$$ \frac{8}{3}y+\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}y=280. $$

$$ \frac{8}{3}y+2y=280,\qquad \frac{14}{3}y=280,\qquad y=60. $$

Тогда

$$ x=\frac{4}{3}\cdot 60=80. $$

Найдём время до встречи:

$$ tx=\frac{8}{3}y=\frac{8}{3}\cdot 60=160, $$

$$ t=\frac{160}{80}=2. $$

Ответ

$$80\text{ км/ч},\ 60\text{ км/ч},\ 2\text{ часа}.$$