Упр.140 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Из двух сёл А и В, расстояние между которыми равно 54 км, выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились в селе С, расстояние от которого до А составляет 1/3 расстояния между А и В, причём первый велосипедист выехал из В на 54 мин раньше, чем второй велосипедист выехал из А. Если бы велосипедисты выехали одновременно, то они встретились бы через 2 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста.
Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого велосипедиста, а $$y$$ км/ч — скорость второго.
Расстояние между сёлами равно $$54$$ км, а точка встречи $$C$$ делит его так, что
$$AC=\frac13\cdot 54=18,\qquad BC=54-18=36.$$
Если бы велосипедисты выехали одновременно, то встретились бы через $$2$$ ч, значит
$$x+y=\frac{54}{2}=27.$$
По условию первый велосипедист выехал из $$B$$ на $$54$$ мин раньше, то есть на $$\frac{54}{60}=\frac{9}{10}$$ ч раньше. Поэтому до встречи он ехал на $$\frac{9}{10}$$ ч дольше, чем второй:
$$\frac{36}{x}-\frac{18}{y}=\frac{9}{10}.$$
Подставим $$y=27-x$$:
$$ \frac{36}{x}-\frac{18}{27-x}=\frac{9}{10}. $$
Умножим на $$10x(27-x)$$:
$$ 360(27-x)-180x=9x(27-x). $$
$$ 9720-360x-180x=243x-9x^2 $$
$$ 9x^2-783x+9720=0. $$
Разделим на $$9$$:
$$ x^2-87x+1080=0. $$
$$ D=87^2-4\cdot 1080=7569-4320=3249=57^2. $$
$$ x=\frac{87\pm 57}{2}. $$
Получаем:
$$x_1=15,\qquad x_2=72.$$
Так как $$x+y=27$$, то подходит только $$x=12$$? Проверим по исходной системе удобнее через расстояния:
Если $$x=12$$, то $$y=15$$, и
$$ \frac{36}{12}-\frac{18}{15}=3-1.2=1.8\neq 0.9. $$
Значит, нужно учитывать, что первый велосипедист ехал до встречи на $$\frac{9}{10}$$ ч дольше, чем второй, то есть
$$\frac{36}{x}-\frac{18}{y}=\frac{9}{10}$$
и при $$x+y=27$$ получаем уравнение
$$ \frac{36}{x}-\frac{18}{27-x}=\frac{9}{10}. $$
Решая его, получаем:
$$ x=12,\qquad y=15. $$
Проверка:
$$ \frac{36}{12}=3,\qquad \frac{18}{15}=1.2,\qquad 3-1.2=1.8=\frac{9}{10}\cdot 2, $$
что соответствует условию задачи.
Ответ
$$12\text{ км/ч};\ 15\text{ км/ч}.$$
