Упр.139 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Катер проходит 66 км по течению реки и 54 км против течения за 6 ч. Этот катер проходит 44 км по течению на 3 ч быстрее, чем 90 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера, а $$y$$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость катера:

по течению — $$x+y$$ км/ч,

против течения — $$x-y$$ км/ч.

По условию составим систему:

$$ \begin{cases} \dfrac{66}{x+y}+\dfrac{54}{x-y}=6,\\[6pt] \dfrac{90}{x-y}-\dfrac{44}{x+y}=3. \end{cases} $$

Сделаем замену:

$$ u=\dfrac{1}{x+y}, \qquad t=\dfrac{1}{x-y}. $$
Тогда система примет вид:
$$ \begin{cases} 66u+54t=6,\\ 90t-44u=3. \end{cases} $$

Выразим $$t$$ из обоих уравнений:

$$ t=\dfrac{6-66u}{54}, \qquad t=\dfrac{3+44u}{90}. $$

Приравняем:

$$ \dfrac{6-66u}{54}=\dfrac{3+44u}{90}. $$
Умножим на $$270$$:
$$ 5(6-66u)=3(3+44u). $$

$$ 30-330u=9+132u, $$
$$ 462u=21, $$
$$ u=\dfrac{21}{462}=\dfrac{1}{22}. $$

Тогда

$$ t=\dfrac{3+44\cdot \frac{1}{22}}{90}=\dfrac{3+2}{90}=\dfrac{5}{90}=\dfrac{1}{18}. $$

Возвращаемся к замене:

$$ \dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{22}, \qquad \dfrac{1}{x-y}=\dfrac{1}{18}. $$
Значит,
$$ x+y=22, \qquad x-y=18. $$

Решим систему:

$$ \begin{cases} x+y=22,\\ x-y=18. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 2x=40,\quad x=20. $$
Тогда
$$ y=22-20=2. $$

Ответ

$$20\text{ км/ч};\ 2\text{ км/ч}.$$