Упр.137 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили, которые встретились через 2 ч 30 мин. Найдите скорость каждого автомобиля, если грузовик потратил на путь из одного города в другой на 3 ч 45 мин больше, чем легковой автомобиль.

Пусть $$x$$ км/ч — скорость грузового автомобиля, а $$y$$ км/ч — скорость легкового автомобиля.

Тогда до встречи каждый из них ехал $$2{,}5$$ ч, значит:

$$2{,}5x+2{,}5y=300.$$

Весь путь грузовик проезжает за $$\dfrac{300}{x}$$ ч, а легковой автомобиль — за $$\dfrac{300}{y}$$ ч. По условию грузовик затратил на весь путь на $$3\text{ ч }45\text{ мин} = 3\dfrac{3}{4}$$ ч больше, чем легковой автомобиль:

$$\frac{300}{x}-\frac{300}{y}=3\dfrac{3}{4}.$$

Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=\frac{300-2{,}5x}{2{,}5}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\frac{300}{x}-\frac{300}{\frac{300-2{,}5x}{2{,}5}}=3\dfrac{3}{4}.$$

Упростим:

$$\frac{300}{x}-\frac{750}{300-2{,}5x}=\frac{15}{4}.$$

Умножим на $$4x(300-2{,}5x)$$:

$$1200(300-2{,}5x)-3000x=15x(300-2{,}5x).$$

$$360000-3000x-3000x=4500x-37{,}5x^2,$$

$$37{,}5x^2-10500x+360000=0.$$

Разделим на $$2{,}5$$:

$$15x^2-4200x+144000=0,$$

$$x^2-280x+9600=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=280^2-4\cdot 9600=78400-38400=40000,$$

$$x=\frac{280\pm 200}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=40,\qquad x_2=240.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y=\frac{300-2{,}5\cdot 40}{2{,}5}=\frac{300-100}{2{,}5}=80,$$

$$y=\frac{300-2{,}5\cdot 240}{2{,}5}=\frac{300-600}{2{,}5}=-120.$$

Скорость не может быть отрицательной, значит, подходит только $$y=80$$.

Ответ

$$40$$ км/ч; $$80$$ км/ч.