Упр.134 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) x^2+y^2=4
y=a-x
2) x^2+y^2=a^2
|y-x|=3
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=2,\\ y=a-x. \end{cases} $$
Подставим $$y=a-x$$ в первое уравнение:
$$ x^2+(a-x)^2=2, $$
$$ x^2+a^2-2ax+x^2=2, $$
$$ 2x^2-2ax+(a^2-2)=0. $$
Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Его дискриминант:
$$ D=(-2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-2)=4a^2-8a^2+16=16-4a^2. $$
Количество решений системы зависит от знака дискриминанта:
- если $$D>0$$, то система имеет два решения;
- если $$D=0$$, то одно решение;
- если $$D<0$$, то решений нет.
Найдём, при каких $$a$$ дискриминант положителен:
$$ 16-4a^2>0, $$
$$ 4-a^2>0, $$
$$ (2-a)(2+a)>0. $$
Отсюда
$$ -2<a<2. $$
При $$D=0$$ получаем
$$ 16-4a^2=0 \Rightarrow a=\pm 2. $$
При $$D<0$$:
$$ a<-2 \quad \text{или} \quad a>2. $$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ |y-x|=3. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ y-x=3 \quad \text{или} \quad y-x=-3, $$
то есть
$$ y=x+3 \quad \text{или} \quad y=x-3. $$
В обоих случаях подставим в первое уравнение. Например, при $$y=x+3$$:
$$ x^2+(x+3)^2=a^2, $$
$$ 2x^2+6x+9-a^2=0. $$
Дискриминант этого уравнения:
$$ D=6^2-4\cdot 2\cdot (9-a^2)=36-72+8a^2=8a^2-36. $$
Чтобы система имела два решения на каждой из двух прямых, нужно $$D>0$$:
$$ 8a^2-36>0, $$
$$ a^2>\frac{9}{2}, $$
$$ |a|>\frac{3\sqrt2}{2}. $$
При
$$ |a|=\frac{3\sqrt2}{2} $$
получаем по одному решению на каждой прямой, то есть всего два решения.
Если
$$ |a|<\frac{3\sqrt2}{2}, $$
то решений нет.
Ответ
1) Два решения при $$a\in(-2;2)$$; одно решение при $$a=\pm 2$$; решений нет при $$a\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$$.
2) Четыре решения при $$a\in(-\infty;-\frac{3\sqrt2}{2})\cup(\frac{3\sqrt2}{2};+\infty)$$; два решения при $$a=\pm\frac{3\sqrt2}{2}$$; решений нет при $$a\in\left(-\frac{3\sqrt2}{2};\frac{3\sqrt2}{2}\right)$$.
