Упр.134 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) x^2+y^2=4
y=x-a
2) x^2+y^2=a^2
|y|=5
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x-a. \end{cases} $$
Подставим $$y=x-a$$ в первое уравнение:
$$ x^2+(x-a)^2=4, $$
$$ x^2+x^2-2ax+a^2=4, $$
$$ 2x^2-2ax+(a^2-4)=0. $$
Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Его дискриминант:
$$ D=(-2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-4)=4a^2-8a^2+32=32-4a^2. $$
Количество решений системы зависит от знака дискриминанта:
- если $$D>0$$, то система имеет два решения;
- если $$D=0$$, то одно решение;
- если $$D<0$$, то решений нет.
Найдём, при каких $$a$$ это происходит:
$$ 32-4a^2>0 \;\Longleftrightarrow\; 8-a^2>0 \;\Longleftrightarrow\; a^2<8 \;\Longleftrightarrow\; -2\sqrt2<a<2\sqrt2. $$
$$ 32-4a^2=0 \;\Longleftrightarrow\; a^2=8 \;\Longleftrightarrow\; a=\pm 2\sqrt2. $$
$$ 32-4a^2<0 \;\Longleftrightarrow\; a^2>8 \;\Longleftrightarrow\; a<-2\sqrt2 \text{ или } a>2\sqrt2. $$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ |y|=5. \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем:
$$ y=5 \text{ или } y=-5. $$
Тогда из первого уравнения:
$$ x^2+25=a^2, $$
$$ x^2=a^2-25. $$
Количество решений зависит от знака выражения $$a^2-25$$:
- если $$a^2-25>0$$, то для каждого из двух значений $$y$$ есть два значения $$x$$, всего четыре решения;
- если $$a^2-25=0$$, то для каждого из двух значений $$y$$ получается одно значение $$x$$, всего два решения;
- если $$a^2-25<0$$, решений нет.
Решим неравенства:
$$ a^2-25>0 \;\Longleftrightarrow\; (a-5)(a+5)>0 \;\Longleftrightarrow\; a<-5 \text{ или } a>5, $$
$$ a^2-25=0 \;\Longleftrightarrow\; a=\pm 5, $$
$$ a^2-25<0 \;\Longleftrightarrow\; -5<a<5. $$
Ответ
1) Два решения при $$a\in(-2\sqrt2;\,2\sqrt2)$$; одно решение при $$a=\pm 2\sqrt2$$; решений нет при $$a\in(-\infty;\,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;\,+\infty)$$.
2) Четыре решения при $$a\in(-\infty;\,-5)\cup(5;\,+\infty)$$; два решения при $$a=\pm 5$$; решений нет при $$a\in(-5;\,5)$$.
