Упр.134 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) x^2+y^2=1
y=x+a
2) x^2+y^2=a^2
|x|=3

1. Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} x^2+y^2=1,\\ y=x+a. \end{cases} $$

   Подставим $$y=x+a$$ в первое уравнение:

   $$ x^2+(x+a)^2=1 $$

   $$ x^2+x^2+2ax+a^2=1 $$

   $$ 2x^2+2ax+(a^2-1)=0. $$

   Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Его дискриминант:

   $$ D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-1)=4a^2-8a^2+8=8-4a^2. $$

   Число решений системы зависит от знака дискриминанта:

   • если $$D>0$$, то система имеет два решения;
   • если $$D=0$$, то одно решение;
   • если $$D<0$$, то решений нет.

   Решим неравенство:

   $$ 8-4a^2>0 $$

   $$ 2-a^2>0 $$

   $$ a^2<2 $$

   $$ -\sqrt2<a<\sqrt2. $$

   При $$D=0$$:

   $$ 8-4a^2=0 \Rightarrow a^2=2 \Rightarrow a=\pm\sqrt2. $$

   При $$D<0$$:

   $$ a^2>2 \Rightarrow a\in(-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty). $$

2. Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ |x|=3. \end{cases} $$

   Из уравнения $$|x|=3$$ получаем:

   $$ x=3 \quad \text{или} \quad x=-3. $$

   Тогда из первого уравнения:

   $$ 3^2+y^2=a^2 $$

   $$ 9+y^2=a^2 $$

   $$ y^2=a^2-9. $$

   Число решений зависит от знака выражения $$a^2-9$$:

   • если $$a^2-9>0$$, то для каждого из значений $$x=\pm 3$$ есть два значения $$y$$, всего четыре решения;
   • если $$a^2-9=0$$, то для каждого $$x=\pm 3$$ получается одно значение $$y$$, всего два решения;
   • если $$a^2-9<0$$, решений нет.

   Решим неравенство:

   $$ a^2-9>0 $$

   $$ (a-3)(a+3)>0 $$

   $$ a<-3 \quad \text{или} \quad a>3. $$

   При $$a^2-9=0$$:

   $$ a=\pm 3. $$

   При $$a^2-9<0$$:

   $$ -3<a<3. $$

Ответ

1) Два решения при $$a\in(-\sqrt2;\sqrt2)$$; одно решение при $$a=\pm\sqrt2$$; нет решений при $$a\in(-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)$$.

2) Четыре решения при $$a\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$; два решения при $$a=\pm 3$$; нет решений при $$a\in(-3;3)$$.