Упр.133 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) x^2+xy-12y^2=0
2x^2-3xy+y^2=90
2) 4x^2-3xy-y^2=14
2x^2+xy-3y^2=12
Решим систему
$$ \begin{cases} x^2+xy-12y^2=0,\\ 2x^2-3xy+y^2=90. \end{cases} $$
Первое уравнение рассматриваем как квадратное относительно $$x$$:
$$ x^2+y x-12y^2=0. $$
Тогда
$$ D=y^2+48y^2=49y^2, $$
$$ x_{1,2}=\frac{-y\pm 7y}{2}. $$
Получаем:
$$ x_1=-4y,\qquad x_2=3y. $$
1) Если $$x=-4y$$, то из второго уравнения:
$$ 2(-4y)^2-3(-4y)y+y^2=90; $$
$$ 32y^2+12y^2+y^2=90; $$
$$ 45y^2=90,\qquad y^2=2,\qquad y=\pm \sqrt2. $$
Тогда
$$ x=-4y \Rightarrow x=\mp 4\sqrt2. $$
Получаем пары:
$$ (-4\sqrt2;\sqrt2),\qquad (4\sqrt2;-\sqrt2). $$
2) Если $$x=3y$$, то из второго уравнения:
$$ 2(3y)^2-3(3y)y+y^2=90; $$
$$ 18y^2-9y^2+y^2=90; $$
$$ 10y^2=90,\qquad y^2=9,\qquad y=\pm 3. $$
Тогда
$$ x=3y \Rightarrow x=\pm 9. $$
Получаем пары:
$$ (-9;-3),\qquad (9;3). $$
Решим систему
$$ \begin{cases} 4x^2-3xy-y^2=14,\\ 2x^2+xy-3y^2=12. \end{cases} $$
Положим $$y=tx$$. Тогда
$$ \begin{cases} x^2(4-3t-t^2)=14,\\ x^2(2+t-3t^2)=12. \end{cases} $$
Разделим первое уравнение на второе:
$$ \frac{4-3t-t^2}{2+t-3t^2}=\frac{14}{12}=\frac76. $$
$$ 6(4-3t-t^2)=7(2+t-3t^2); $$
$$ 24-18t-6t^2=14+7t-21t^2; $$
$$ 15t^2-25t+10=0; $$
$$ 3t^2-5t+2=0; $$
$$ D=25-24=1, $$
$$ t_1=\frac{5-1}{6}=\frac23,\qquad t_2=\frac{5+1}{6}=1. $$
1) Если $$t=\frac23$$, то $$y=\frac23x$$. Подставим в первое уравнение:
$$ 4x^2-3x\cdot \frac23x-\left(\frac23x\right)^2=14; $$
$$ 4x^2-2x^2-\frac49x^2=14; $$
$$ \frac{14}{9}x^2=14,\qquad x^2=9,\qquad x=\pm 3. $$
Тогда
$$ y=\frac23x \Rightarrow y=\pm 2. $$
Получаем пары:
$$ (-3;-2),\qquad (3;2). $$
2) Если $$t=1$$, то $$y=x$$. Подставим в первое уравнение:
$$ 4x^2-3x^2-x^2=14; $$
$$ 0=14, $$
что невозможно. Значит, этот случай не подходит.
Ответ
1) $$(-4\sqrt2;\sqrt2),\ (4\sqrt2;-\sqrt2),\ (-9;-3),\ (9;3)$$
2) $$(-3;-2),\ (3;2)$$
