Упр.133 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) x^2+3xy-10y^2=0
x^2+2xy-y^2=28
2) 2x^2+xy-3y^2=3
x^2-4xy-3y^2=9

1) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x^2+3xy-10y^2=0,\\ x^2+2xy-y^2=28. \end{cases} $$

Первое уравнение разложим на множители:

$$ x^2+3xy-10y^2=(x+5y)(x-2y)=0. $$

Значит, либо $$x=-5y$$, либо $$x=2y$$.

1-й случай: $$x=-5y$$.

$$ (-5y)^2+2y\cdot(-5y)-y^2=28 $$
$$ 25y^2-10y^2-y^2=28 $$
$$ 14y^2=28 $$
$$ y^2=2,\quad y=\pm\sqrt2. $$
Тогда
$$ x=-5y=\mp 5\sqrt2. $$
Получаем точки:
$$ (-5\sqrt2;\sqrt2),\quad (5\sqrt2;-\sqrt2). $$

2-й случай: $$x=2y$$.

$$ (2y)^2+2y\cdot(2y)-y^2=28 $$
$$ 4y^2+4y^2-y^2=28 $$
$$ 7y^2=28 $$
$$ y^2=4,\quad y=\pm2. $$
Тогда
$$ x=2y=\pm4. $$
Получаем точки:
$$ (-4;-2),\quad (4;2). $$

2) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} 2x^2+xy-3y^2=3,\\ x^2-4xy-3y^2=9. \end{cases} $$

Положим $$y=tx$$. Тогда

$$ \begin{cases} x^2(2+t-3t^2)=3,\\ x^2(1-4t-3t^2)=9. \end{cases} $$

Разделим второе уравнение на первое:

$$ \frac{1-4t-3t^2}{2+t-3t^2}=3 $$
$$ 1-4t-3t^2=3(2+t-3t^2) $$
$$ 1-4t-3t^2=6+3t-9t^2 $$
$$ 6t^2-7t-5=0. $$

$$ D=(-7)^2-4\cdot 6\cdot(-5)=49+120=169 $$
$$ t_{1,2}=\frac{7\pm13}{12}. $$

$$ t_1=-\frac12,\quad t_2=\frac53. $$

1-й случай: $$y=-\frac12x$$.

$$ 2x^2+x\left(-\frac12x\right)-3\left(-\frac12x\right)^2=3 $$
$$ 2x^2-\frac12x^2-\frac34x^2=3 $$
$$ \frac34x^2=3 $$
$$ x^2=4,\quad x=\pm2. $$
Тогда
$$ y=-\frac12x, $$
поэтому
$$ (-2;1),\quad (2;-1). $$

2-й случай: $$y=\frac53x$$.

$$ 2x^2+x\cdot\frac53x-3\left(\frac53x\right)^2=3 $$
$$ 2x^2+\frac53x^2-\frac{25}{3}x^2=3 $$
$$ -6x^2=3 $$
$$ x^2=-\frac12. $$
Реальных решений нет.

Ответ

1) $$(-5\sqrt2;\sqrt2),\ (5\sqrt2;-\sqrt2),\ (-4;-2),\ (4;2)$$
2) $$(-2;1),\ (2;-1)$$