Упр.133 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) x^2-5xy+6y^2=0
3x^2+2xy-y^2=15
2) 3x^2-2xy-y^2=7
x^2+xy+8y^2=14

1. $$\begin{cases} x^2-5xy+6y^2=0,\\ 3x^2+2xy-y^2=15. \end{cases}$$
   Первое уравнение разложим на множители:
   $$x^2-5xy+6y^2=(x-2y)(x-3y)=0.$$
   Значит,
   $$x=2y \quad \text{или} \quad x=3y.$$

   1) Если $$x=2y,$$ то

   $$3(2y)^2+2\cdot 2y\cdot y-y^2=15,$$
   $$12y^2+4y^2-y^2=15,$$
   $$15y^2=15,$$
   $$y^2=1,$$
   $$y=\pm 1.$$
   Тогда $$x=2y,$$ откуда получаем точки:
   $$(2;1),\;(-2;-1).$$

   2) Если $$x=3y,$$ то

   $$3(3y)^2+2\cdot 3y\cdot y-y^2=15,$$
   $$27y^2+6y^2-y^2=15,$$
   $$32y^2=15,$$
   $$y^2=\frac{15}{32},$$
   $$y=\pm \sqrt{\frac{15}{32}}=\pm \frac{\sqrt{30}}{8}.$$
   Тогда
   $$x=3y=\pm \frac{3\sqrt{30}}{8}.$$
   Получаем точки:
   $$\left(\frac{3\sqrt{30}}{8};\frac{\sqrt{30}}{8}\right),\; \left(-\frac{3\sqrt{30}}{8};-\frac{\sqrt{30}}{8}\right).$$

2. $$\begin{cases} 3x^2-2xy-y^2=7,\\ x^2+xy+8y^2=14. \end{cases}$$
   Пусть $$y=tx$$. Тогда
   $$\begin{cases} x^2(3-2t-t^2)=7,\\ x^2(1+t+8t^2)=14. \end{cases}$$
   Разделим второе уравнение на первое:
   $$\frac{1+t+8t^2}{3-2t-t^2}=2.$$
   Тогда
   $$1+t+8t^2=2(3-2t-t^2),$$
   $$1+t+8t^2=6-4t-2t^2,$$
   $$10t^2+5t-5=0,$$
   $$2t^2+t-1=0,$$
   $$(2t-1)(t+1)=0.$$
   Отсюда
   $$t=\frac12 \quad \text{или} \quad t=-1.$$

   1) Если $$t=-1,$$ то $$y=-x.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$x^2+x(-x)+8(-x)^2=14,$$
   $$8x^2=14,$$
   $$x^2=\frac74,$$
   $$x=\pm \frac{\sqrt7}{2},$$
   $$y=\mp \frac{\sqrt7}{2}.$$
   Получаем точки:
   $$\left(\frac{\sqrt7}{2};-\frac{\sqrt7}{2}\right),\; \left(-\frac{\sqrt7}{2};\frac{\sqrt7}{2}\right).$$

   2) Если $$t=\frac12,$$ то $$y=\frac{x}{2}.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$x^2+x\cdot \frac{x}{2}+8\left(\frac{x}{2}\right)^2=14,$$
   $$x^2+\frac12x^2+2x^2=14,$$
   $$\frac72x^2=14,$$
   $$x^2=4,$$
   $$x=\pm 2,$$
   $$y=\pm 1.$$
   Получаем точки:
   $$(2;1),\;(-2;-1).$$

Ответ

1) $$(-2;-1),\ (2;1),\ \left(-\frac{3\sqrt{30}}{8};-\frac{\sqrt{30}}{8}\right),\ \left(\frac{3\sqrt{30}}{8};\frac{\sqrt{30}}{8}\right).$$

2) $$\left(-\frac{\sqrt7}{2};\frac{\sqrt7}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt7}{2};-\frac{\sqrt7}{2}\right),\ (-2;-1),\ (2;1).$$