Упр.132 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) 4x^2-y^2=32
yx=6
2) x+y+xy=-19
xy(x+y)=-20
3) x^3-y^3=98
x-y=2
4) y/x-x/y=16/15
4y-5x=15
5) 3/(2x+5y)-2/(3x-10y)=4
2/(2x+5y)+3/(3x-10y)=7
6) (x+3y)/(2x-y)+(6(2x-y))/(x+3y)=5
x^2-xy-y^2=1

1. $$\begin{cases} 4x^2-y^2=32,\\ xy=6 \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$y=\dfrac{6}{x}$$. Подставим в первое:

   $$4x^2-\left(\dfrac{6}{x}\right)^2=32$$
   $$4x^4-36=32x^2$$
   $$4x^4-32x^2-36=0$$
   $$x^4-8x^2-9=0$$

   Пусть $$u=x^2$$. Тогда

   $$u^2-8u-9=0$$
   $$D=64+36=100$$
   $$u_1=\dfrac{8-10}{2}=-1,\quad u_2=\dfrac{8+10}{2}=9$$

   Так как $$x^2\ge 0$$, то $$u=-1$$ не подходит. Значит, $$x^2=9$$, откуда $$x=\pm 3$$.

   При $$x=3$$ получаем $$y=2$$, при $$x=-3$$ получаем $$y=-2$$.

2. $$\begin{cases} x+y+xy=-19,\\ xy(x+y)=-20 \end{cases}$$

   Пусть $$t=x+y$$, $$u=xy$$. Тогда

   $$\begin{cases} t+u=-19,\\ tu=-20 \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$t=-19-u$$. Подставим во второе:

   $$u(-19-u)=-20$$
   $$u^2+19u-20=0$$
   $$D=19^2+80=441$$
   $$u_1=\dfrac{-19-21}{2}=-20,\quad u_2=\dfrac{-19+21}{2}=1$$

   Если $$u=-20$$, то $$t=1$$ и
   $$\begin{cases} x+y=1,\\ xy=-20 \end{cases}$$
   откуда $$x=-4,\ y=5$$ или $$x=5,\ y=-4$$.

   Если $$u=1$$, то $$t=-20$$ и
   $$\begin{cases} x+y=-20,\\ xy=1 \end{cases}$$
   откуда
   $$x=-10-3\sqrt{11},\ y=-10+3\sqrt{11}$$
   или
   $$x=-10+3\sqrt{11},\ y=-10-3\sqrt{11}.$$

3. $$\begin{cases} x^3-y^3=98,\\ x-y=2 \end{cases}$$

   Используем формулу разности кубов:

   $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$

   Тогда

   $$2(x^2+xy+y^2)=98$$
   $$x^2+xy+y^2=49$$

   Пусть $$y=x-2$$. Подставим:

   $$x^2+x(x-2)+(x-2)^2=49$$
   $$3x^2-6x+4=49$$
   $$3x^2-6x-45=0$$
   $$x^2-2x-15=0$$
   $$(x-5)(x+3)=0$$

   $$x=5,\ y=3$$ или $$x=-3,\ y=-5$$.

4. $$\begin{cases} \dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{y}=\dfrac{16}{15},\\ 4y-5x=15 \end{cases}$$

   Пусть $$u=\dfrac{y}{x}$$. Тогда

   $$u-\dfrac{1}{u}=\dfrac{16}{15}$$
   $$15u^2-16u-15=0$$
   $$D=16^2+4\cdot 15\cdot 15=1156$$
   $$u_1=\dfrac{16-34}{30}=-\dfrac{3}{5},\quad u_2=\dfrac{16+34}{30}=\dfrac{5}{3}$$

   Если $$\dfrac{y}{x}=-\dfrac{3}{5}$$, то $$y=-\dfrac{3x}{5}$$ и
   $$4\left(-\dfrac{3x}{5}\right)-5x=15,$$
   откуда $$x=-\dfrac{75}{37},\ y=\dfrac{45}{37}.$$

   Если $$\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{3}$$, то $$y=\dfrac{5x}{3}$$ и
   $$4\cdot\dfrac{5x}{3}-5x=15,$$
   откуда $$x=9,\ y=15.$$

5. $$\begin{cases} \dfrac{3}{2x+5y}-\dfrac{2}{3x-10y}=4,\\ \dfrac{2}{2x+5y}+\dfrac{3}{3x-10y}=7 \end{cases}$$

   Пусть

   $$t=\dfrac{1}{2x+5y},\quad u=\dfrac{1}{3x-10y}.$$

   Тогда

   $$\begin{cases} 3t-2u=4,\\ 2t+3u=7 \end{cases}$$

   Решая систему, получаем $$u=1$$, $$t=2$$.

   Значит,

   $$2x+5y=\dfrac{1}{2},\quad 3x-10y=1.$$

   Решим систему:

   $$\begin{cases} 2x+5y=\dfrac{1}{2},\\ 3x-10y=1 \end{cases}$$
   $$x=\dfrac{2}{7},\quad y=-\dfrac{1}{70}.$$

6. $$\begin{cases} \dfrac{x+3y}{2x-y}+\dfrac{6(2x-y)}{x+3y}=5,\\ x^2-xy-y^2=1 \end{cases}$$

   Пусть $$u=\dfrac{x+3y}{2x-y}$$. Тогда

   $$u+\dfrac{6}{u}=5$$
   $$u^2-5u+6=0$$
   $$(u-2)(u-3)=0$$

   Следовательно, $$u=2$$ или $$u=3$$.

   1) Если $$\dfrac{x+3y}{2x-y}=2$$, то
   $$x+3y=2(2x-y)$$,
   откуда $$y=\dfrac{3x}{5}$$.
   Подставим во второе уравнение:
   $$x^2-x\cdot\dfrac{3x}{5}-\left(\dfrac{3x}{5}\right)^2=1$$
   $$x^2=25$$
   $$x=\pm 5,\quad y=\pm 3.$$

   2) Если $$\dfrac{x+3y}{2x-y}=3$$, то
   $$x+3y=3(2x-y)$$,
   откуда $$y=\dfrac{5x}{6}$$.
   Подставим во второе уравнение:
   $$x^2-x\cdot\dfrac{5x}{6}-\left(\dfrac{5x}{6}\right)^2=1$$
   $$x^2=-\dfrac{1}{19}$$
   Это невозможно в действительных числах.

Ответ

1) $$(-3;\,-2),\ (3;\,2)$$
2) $$(-4;\,5),\ (5;\,-4),\ (-10-3\sqrt{11};\,-10+3\sqrt{11}),\ (-10+3\sqrt{11};\,-10-3\sqrt{11})$$
3) $$(-3;\,-5),\ (5;\,3)$$
4) $$\left(-\dfrac{75}{37};\ \dfrac{45}{37}\right),\ (9;\,15)$$
5) $$\left(\dfrac{2}{7};\ -\dfrac{1}{70}\right)$$
6) $$(-5;\,-3),\ (5;\,3)$$