Упр.132 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) 2x^2+y^2=54
xy=-10
2) x-y+xy=-4
xy(x-y)=-21
3) x^3-y^3=26
x^2+xy+y^2=13
4) x/y-y/x=15/4
2x-5y=9
5) 5/(3x-2y)+2/(2x+y)=21
9/(3x-2y)+8/(2x+y)=40
6) (2x+y)/(x-2y)+(2(x-2y))/(2x+y)=3
x^2+3xy-y^2=25
$$ \begin{cases} 2x^2+y^2=54,\\ xy=-10 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$y=-\dfrac{10}{x}$$. Подставим в первое:
$$ 2x^2+\left(-\dfrac{10}{x}\right)^2=54 $$
$$ 2x^2+\dfrac{100}{x^2}=54 $$
Умножим на $$x^2$$:
$$ 2x^4-54x^2+100=0 $$
Пусть $$u=x^2$$. Тогда
$$ 2u^2-54u+100=0 $$
$$ u^2-27u+50=0 $$
$$ D=27^2-4\cdot 50=529 $$
$$ u_1=\dfrac{27-23}{2}=2,\qquad u_2=\dfrac{27+23}{2}=25 $$
Тогда
$$ x=\pm \sqrt{2},\qquad x=\pm 5 $$
Найдём соответствующие значения $$y$$ из $$xy=-10$$:
$$ (\sqrt{2},-5\sqrt{2}),\;(-\sqrt{2},5\sqrt{2}),\;(5,-2),\;(-5,2) $$
$$ \begin{cases} x-y+xy=-4,\\ xy(x-y)=-21 \end{cases} $$
Пусть $$t=x-y$$, $$u=xy$$. Тогда
$$ \begin{cases} t+u=-4,\\ tu=-21 \end{cases} $$
Из первого уравнения $$t=-u-4$$. Подставим во второе:
$$ (-u-4)u=-21 $$
$$ u^2+4u-21=0 $$
$$ D=4^2+4\cdot 21=100 $$
$$ u_1=-7,\qquad u_2=3 $$
Если $$u=-7$$, то $$t=3$$, получаем систему
$$ \begin{cases} x-y=3,\\ xy=-7 \end{cases} $$
Тогда $$y=x-3$$, и
$$ x(x-3)=-7 $$
$$ x^2-3x+7=0 $$
$$ D=9-28=-19<0 $$
Действительных решений нет.
Если $$u=3$$, то $$t=-7$$, получаем
$$ \begin{cases} x-y=-7,\\ xy=3 \end{cases} $$
Тогда $$y=x+7$$, и
$$ x(x+7)=3 $$
$$ x^2+7x-3=0 $$
$$ D=49+12=61 $$
$$ x=\dfrac{-7\pm \sqrt{61}}{2} $$
$$ y=x+7=\dfrac{7\pm \sqrt{61}}{2} $$
$$ \begin{cases} x^3-y^3=26,\\ x^2+xy+y^2=13 \end{cases} $$
Используем формулу разности кубов:
$$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) $$
Тогда
$$ (x-y)\cdot 13=26 $$
$$ x-y=2 $$
$$ y=x-2 $$
Подставим во второе уравнение:
$$ x^2+x(x-2)+(x-2)^2=13 $$
$$ 3x^2-6x-9=0 $$
$$ x^2-2x-3=0 $$
$$ (x-3)(x+1)=0 $$
$$ x=3 \text{ или } x=-1 $$
Тогда
$$ (x,y)=(3,1),\;(-1,-3) $$
$$ \begin{cases} \dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{15}{4},\\ 2x-5y=9 \end{cases} $$
Пусть $$u=\dfrac{x}{y}$$. Тогда $$\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{u}$$, и
$$ u-\dfrac{1}{u}=\dfrac{15}{4} $$
$$ 4u^2-15u-4=0 $$
$$ D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=289 $$
$$ u_1=4,\qquad u_2=-\dfrac{1}{4} $$
Если $$\dfrac{x}{y}=4$$, то $$x=4y$$:
$$ 2\cdot 4y-5y=9 $$
$$ 3y=9,\qquad y=3,\qquad x=12 $$
Если $$\dfrac{x}{y}=-\dfrac{1}{4}$$, то $$x=-\dfrac{y}{4}$$:
$$ 2\left(-\dfrac{y}{4}\right)-5y=9 $$
$$ -\dfrac{11}{2}y=9,\qquad y=-\dfrac{18}{11},\qquad x=\dfrac{9}{22} $$
$$ \begin{cases} \dfrac{5}{3x-2y}+\dfrac{2}{2x+y}=21,\\ \dfrac{9}{3x-2y}+\dfrac{8}{2x+y}=40 \end{cases} $$
Пусть
$$ t=\dfrac{1}{3x-2y},\qquad u=\dfrac{1}{2x+y} $$
Тогда
$$ \begin{cases} 5t+2u=21,\\ 9t+8u=40 \end{cases} $$
Из первого уравнения $$u=\dfrac{21-5t}{2}$$. Подставим во второе:
$$ 9t+8\cdot \dfrac{21-5t}{2}=40 $$
$$ 9t+4(21-5t)=40 $$
$$ 9t+84-20t=40 $$
$$ -11t=-44,\qquad t=4 $$
Тогда
$$ u=\dfrac{21-5\cdot 4}{2}=\dfrac{1}{2} $$
Получаем систему
$$ \begin{cases} 3x-2y=\dfrac{1}{4},\\ 2x+y=2 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$y=2-2x$$. Подставим в первое:
$$ 3x-2(2-2x)=\dfrac{1}{4} $$
$$ 7x-4=\dfrac{1}{4} $$
$$ 7x=\dfrac{17}{4},\qquad x=\dfrac{17}{28} $$
$$ y=2-2\cdot \dfrac{17}{28}=\dfrac{11}{14} $$
$$ \begin{cases} \dfrac{2x+y}{x-2y}+\dfrac{2(x-2y)}{2x+y}=3,\\ x^2+3xy-y^2=25 \end{cases} $$
Пусть
$$ u=\dfrac{2x+y}{x-2y} $$
Тогда
$$ u+\dfrac{2}{u}=3 $$
$$ u^2-3u+2=0 $$
$$ (u-1)(u-2)=0 $$
$$ u=1 \text{ или } u=2 $$
1) Если $$\dfrac{2x+y}{x-2y}=1$$, то
$$ 2x+y=x-2y $$
$$ x=-3y $$
Подставим во второе уравнение:
$$ (-3y)^2+3(-3y)y-y^2=25 $$
$$ 9y^2-9y^2-y^2=25 $$
$$ -y^2=25 $$
Действительных решений нет.
2) Если $$\dfrac{2x+y}{x-2y}=2$$, то
$$ 2x+y=2(x-2y) $$
$$ y=0 $$
Тогда из второго уравнения
$$ x^2=25 $$
$$ x=\pm 5 $$
Получаем решения:
$$ (-5,0),\;(5,0) $$
Ответ
1) $$(-\sqrt{2};\,5\sqrt{2}),\;(\sqrt{2};\,-5\sqrt{2}),\;(-5;\,2),\;(5;\,-2)$$
2) $$\left(-\dfrac{7-\sqrt{61}}{2};\,\dfrac{7-\sqrt{61}}{2}\right),\;\left(-\dfrac{7+\sqrt{61}}{2};\,\dfrac{7+\sqrt{61}}{2}\right)$$
3) $$(-1;\,-3),\;(3;\,1)$$
4) $$\left(\dfrac{9}{22};\,-\dfrac{18}{11}\right),\;(12;\,3)$$
5) $$\left(\dfrac{17}{28};\,\dfrac{11}{14}\right)$$
6) $$(-5;\,0),\;(5;\,0)$$
