Упр.132 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) x^2-3y^2=13
xy=-4
2) x+y-xy=-2
xy(x+y)=48
3) x^3+y^3=7
x^2-xy+y^2=7
4) x/y+y/x=2 1/2
2x-3y=3
5) 2/(x-2y)+1/(x+2y)=7
15/(x-2y)-2/(x+2y)=24
6) (x+y)/(x-y)-2(x-y)/(x+y)=1
x^2-5xy+2y^2=4

1. $$\begin{cases} x^2-3y^2=13,\\ xy=-4 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=-\frac{4}{x}.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2-3\left(-\frac{4}{x}\right)^2=13,$$
   $$x^2-\frac{48}{x^2}=13.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$x^4-13x^2-48=0.$$
   Пусть $$u=x^2$$. Тогда
   $$u^2-13u-48=0.$$
   $$D=13^2+4\cdot 48=361,$$
   $$u_1=\frac{13-19}{2}=-3,\quad u_2=\frac{13+19}{2}=16.$$
   Так как $$x^2\ge 0,$$ берём $$u=16$$:
   $$x=\pm 4.$$
   Тогда
   $$y=-\frac{4}{x}.$$
   Получаем пары:
   $$(-4;1),\ (4;-1).$$

2. $$\begin{cases} x+y-xy=-2,\\ xy(x+y)=48 \end{cases}$$
   Пусть $$t=x+y,$$ $$u=xy.$$ Тогда
   $$\begin{cases} t-u=-2,\\ tu=48 \end{cases}$$
   Отсюда $$t=u-2,$$ значит
   $$u(u-2)=48,$$
   $$u^2-2u-48=0.$$
   $$D=196,$$
   $$u_1=-6,\quad u_2=8.$$
   Если $$u=-6,$$ то $$t=-8$$, и
   $$\begin{cases} x+y=-8,\\ xy=-6 \end{cases}$$
   даёт
   $$x^2+8x-6=0,$$
   $$x=-4\pm \sqrt{22},$$
   $$y=-4\mp \sqrt{22}.$$
   Если $$u=8,$$ то $$t=6$$, и
   $$\begin{cases} x+y=6,\\ xy=8 \end{cases}$$
   даёт
   $$x^2-6x+8=0,$$
   $$x=2 \text{ или } 4,$$
   $$y=4 \text{ или } 2.$$
   Ответ:
   $$(-4+\sqrt{22};-4-\sqrt{22}),\ (-4-\sqrt{22};-4+\sqrt{22}),\ (2;4),\ (4;2).$$

3. $$\begin{cases} x^3+y^3=7,\\ x^2-xy+y^2=7 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$
   значит
   $$7(x+y)=7,$$
   $$x+y=1.$$
   Тогда $$y=1-x.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$x^2-x(1-x)+(1-x)^2=7,$$
   $$3x^2-3x-6=0,$$
   $$x^2-x-2=0.$$
   $$x=-1 \text{ или } 2.$$
   Тогда
   $$y=2 \text{ или } -1.$$
   Ответ:
   $$(-1;2),\ (2;-1).$$

4. $$\begin{cases} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=2\dfrac{1}{2},\\ 2x-3y=3 \end{cases}$$
   Пусть $$u=\dfrac{x}{y}.$$ Тогда
   $$u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2}.$$
   Умножим на $$2u$$:
   $$2u^2-5u+2=0.$$
   $$D=9,$$
   $$u_1=\frac{1}{2},\quad u_2=2.$$
   1) Если $$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{2},$$ то $$y=2x.$$ Подставим:
   $$2x-3(2x)=3,$$
   $$-4x=3,$$
   $$x=-\frac{3}{4},\quad y=-\frac{3}{2}.$$
   2) Если $$\dfrac{x}{y}=2,$$ то $$x=2y.$$ Подставим:
   $$2(2y)-3y=3,$$
   $$y=3,\quad x=6.$$
   Ответ:
   $$\left(-\frac{3}{4};-\frac{3}{2}\right),\ (6;3).$$

5. $$\begin{cases} \dfrac{2}{x-2y}+\dfrac{1}{x+2y}=7,\\ \dfrac{15}{x-2y}-\dfrac{2}{x+2y}=24 \end{cases}$$
   Пусть
   $$t=\frac{1}{x-2y},\quad u=\frac{1}{x+2y}.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} 2t+u=7,\\ 15t-2u=24 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$u=7-2t.$$
   Подставим во второе:
   $$15t-2(7-2t)=24,$$
   $$19t=38,$$
   $$t=2,\quad u=3.$$
   Значит,
   $$\frac{1}{x-2y}=2,\quad \frac{1}{x+2y}=3,$$
   то есть
   $$x-2y=\frac{1}{2},\quad x+2y=\frac{1}{3}.$$
   Решая систему, получаем:
   $$x=\frac{5}{12},\quad y=-\frac{1}{24}.$$
   Ответ:
   $$\left(\frac{5}{12};-\frac{1}{24}\right).$$

6. $$\begin{cases} \dfrac{x+y}{x-y}-2\dfrac{x-y}{x+y}=1,\\ x^2-5xy+2y^2=4 \end{cases}$$
   Пусть
   $$u=\frac{x+y}{x-y}.$$
   Тогда
   $$u-\frac{2}{u}=1,$$
   $$u^2-u-2=0,$$
   $$u=-1 \text{ или } 2.$$
   1) Если
   $$\frac{x+y}{x-y}=-1,$$
   то
   $$x+y=-(x-y),$$
   $$x=0.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$2y^2=4,$$
   $$y=\pm \sqrt{2}.$$
   2) Если
   $$\frac{x+y}{x-y}=2,$$
   то
   $$x+y=2(x-y),$$
   $$x=3y.$$
   Подставим:
   $$9y^2-15y^2+2y^2=4,$$
   $$-4y^2=4,$$
   $$y^2=-1,$$
   действительных решений нет.
   Ответ:
   $$(0;-\sqrt{2}),\ (0;\sqrt{2}).$$