Упр.131 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) x^2+2xy+y^2=100
y-х=6
2) x^2+4xy+4y^2=1
2x^2-3xy+y^2=6
3) xy+x^2=30
xy+y^2=-5
4) 2y^2-3x^2=1
3x^2+2y^2=19
5) 2xy-x=9
2xy+5y=22
6) x^2+16y^2=73
xy=-6

1. $$\begin{cases} x^2+2xy+y^2=100,\\ y-x=6 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x+6.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2+2x(x+6)+(x+6)^2=100,$$
   $$x^2+2x^2+12x+x^2+12x+36=100,$$
   $$4x^2+24x-64=0,$$
   $$x^2+6x-16=0.$$
   $$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-16)=36+64=100,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-6\pm 10}{2}.$$
   Тогда
   $$x_1=-8,\quad y_1=-2;$$
   $$x_2=2,\quad y_2=8.$$
2. $$\begin{cases} x^2+4xy+4y^2=1,\\ 2x^2-3xy+y^2=6 \end{cases}$$
   Первое уравнение:
   $$\left(x+2y\right)^2=1,$$
   значит
   $$x=-2y\pm 1.$$
   Подставим во второе уравнение и получим:
   $$15y^2+11y-4=0.$$
   $$D=11^2-4\cdot 15\cdot(-4)=121+240=361,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-11\pm 19}{30}.$$
   Отсюда
   $$y_1=-1,\quad y_2=\frac{4}{15},\quad y_3=-\frac{4}{15},\quad y_4=1.$$
   Находим соответствующие значения $x$:
   $$x_1=1,\quad x_2=-\frac{23}{15},\quad x_3=\frac{23}{15},\quad x_4=-1.$$
3. $$\begin{cases} xy+x^2=30,\\ xy+y^2=-5 \end{cases}$$
   Запишем так:
   $$x(x+y)=30,\qquad y(x+y)=-5.$$
   Делим первое уравнение на второе:
   $$\frac{x}{y}=\frac{30}{-5}=-6,$$
   значит
   $$x=-6y.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$y(x+y)=-5,$$
   $$y(-6y+y)=-5,$$
   $$-5y^2=-5,$$
   $$y^2=1,$$
   $$y=\pm 1.$$
   Тогда
   $$x=-6,\ y=1;\qquad x=6,\ y=-1.$$
4. $$\begin{cases} 2y^2-3x^2=1,\\ 3x^2+2y^2=19 \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$4y^2=20,$$
   $$y^2=5,$$
   $$y=\pm \sqrt{5}.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$2\cdot 5-3x^2=1,$$
   $$10-3x^2=1,$$
   $$3x^2=9,$$
   $$x^2=3,$$
   $$x=\pm \sqrt{3}.$$
   Получаем четыре пары решений.
5. $$\begin{cases} 2xy-x=9,\\ 2xy+5y=22 \end{cases}$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$5y+x=13,$$
   $$x=13-5y.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$2(13-5y)y+5y=22,$$
   $$26y-10y^2+5y=22,$$
   $$10y^2-31y+22=0.$$
   $$D=31^2-4\cdot 10\cdot 22=81,$$
   $$y_{1,2}=\frac{31\pm 9}{20}.$$
   Тогда
   $$y_1=1.1,\quad y_2=2,$$
   $$x_1=7.5,\quad x_2=3.$$
6. $$\begin{cases} x^2+16y^2=73,\\ xy=-6 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=-\frac{6}{x}.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2+16\left(-\frac{6}{x}\right)^2=73,$$
   $$x^2+\frac{576}{x^2}=73.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$x^4-73x^2+576=0.$$
   Пусть $$u=x^2$$, тогда
   $$u^2-73u+576=0.$$
   $$D=73^2-4\cdot 576=3025,$$
   $$u_{1,2}=\frac{73\pm 55}{2}.$$
   Получаем
   $$u_1=9,\quad u_2=64.$$
   Значит,
   $$x=\pm 3 \quad \text{или} \quad x=\pm 8.$$
   По формуле $$y=-\frac{6}{x}$$ находим:
   $$(-3;2),\ (3;-2),\ (-8;0{,}75),\ (8;-0{,}75).$$

Ответ

1) $$(-8;\,-2),\ (2;\,8)$$;
2) $$(1;\,-1),\ \left(-\frac{23}{15};\frac{4}{15}\right),\ \left(\frac{23}{15};-\frac{4}{15}\right),\ (-1;\,1)$$;
3) $$(-6;\,1),\ (6;\,-1)$$;
4) $$(-\sqrt{3};\,-\sqrt{5}),\ (-\sqrt{3};\,\sqrt{5}),\ (\sqrt{3};\,-\sqrt{5}),\ (\sqrt{3};\,\sqrt{5})$$;
5) $$(7{,}5;\,1{,}1),\ (3;\,2)$$;
6) $$(-3;\,2),\ (3;\,-2),\ (-8;\,0{,}75),\ (8;\,-0{,}75)$$.