Упр.131 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) x^2+2xy+y^2=49
x-y=3
2) 4x^2-4xy+y^2=9
3x^2+2xy-y^2=36
3) x^2-xy=-8
y^2-xy=24
4) 5x^2+3y^2=18
5x^2-3y^2=12
5) x^2+25y^2=2
xy=2

1. $$\begin{cases} x^2+2xy+y^2=49,\\ x-y=3 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x-3.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2+2x(x-3)+(x-3)^2=49,$$
   $$x^2+2x^2-6x+x^2-6x+9=49,$$
   $$4x^2-12x-40=0,$$
   $$x^2-3x-10=0,$$
   $$\left(x+2\right)\left(x-5\right)=0.$$
   Тогда $$x=-2$$ или $$x=5.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y=-2-3=-5,$$
   $$y=5-3=2.$$
2. $$\begin{cases} 4x^2-4xy+y^2=9,\\ 3x^2+2xy-y^2=36 \end{cases}$$
   Первое уравнение:
   $$\left(2x-y\right)^2=9,$$
   значит
   $$2x-y=\pm 3,$$
   $$y=2x\mp 3.$$
   Рассмотрим оба случая.

   1) $$y=2x-3$$

   $$3x^2+2x(2x-3)-(2x-3)^2=36,$$
   $$3x^2+4x^2-6x-4x^2+12x-9=36,$$
   $$3x^2+6x-45=0,$$
   $$x^2+2x-15=0,$$
   $$\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0.$$
   Тогда $$x=-5$$ или $$x=3.$$
   Соответственно:
   $$y=2(-5)-3=-13,$$
   $$y=2\cdot 3-3=3.$$

   2) $$y=2x+3$$

   $$3x^2+2x(2x+3)-(2x+3)^2=36,$$
   $$3x^2+4x^2+6x-4x^2-12x-9=36,$$
   $$3x^2-6x-45=0,$$
   $$x^2-2x-15=0,$$
   $$\left(x+3\right)\left(x-5\right)=0.$$
   Тогда $$x=-3$$ или $$x=5.$$
   Соответственно:
   $$y=2(-3)+3=-3,$$
   $$y=2\cdot 5+3=13.$$

3. $$\begin{cases} x^2-xy=-8,\\ y^2-xy=24 \end{cases}$$
   Перепишем:
   $$x(y-x)=8,$$
   $$y(y-x)=24.$$
   Так как $$y-x\neq 0,$$ разделим второе уравнение на первое:
   $$\frac{y}{x}=\frac{24}{8}=3,$$
   значит
   $$y=3x.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$x(3x-x)=8,$$
   $$2x^2=8,$$
   $$x^2=4,$$
   $$x=\pm 2.$$
   Тогда
   $$y=3x=\pm 6.$$
4. $$\begin{cases} 5x^2+3y^2=18,\\ 5x^2-3y^2=12 \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$10x^2=30,$$
   $$x^2=3,$$
   $$x=\pm \sqrt{3}.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$5\cdot 3-3y^2=12,$$
   $$15-3y^2=12,$$
   $$3y^2=3,$$
   $$y^2=1,$$
   $$y=\pm 1.$$
5. $$\begin{cases} 4xy-y=-40,\\ 5x-4xy=27 \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$5x-y=-13,$$
   $$y=5x+13.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$4x(5x+13)-(5x+13)=-40,$$
   $$20x^2+52x-5x-13=-40,$$
   $$20x^2+47x+27=0.$$
   $$D=47^2-4\cdot 20\cdot 27=49,$$
   $$x=\frac{-47\pm 7}{40}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-\frac{27}{20},\quad x_2=-1.$$
   Тогда
   $$y_1=5\left(-\frac{27}{20}\right)+13=\frac{25}{4},\quad y_2=5(-1)+13=8.$$
6. $$\begin{cases} x^2+25y^2=29,\\ xy=2 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=\frac{2}{x}.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2+25\left(\frac{2}{x}\right)^2=29,$$
   $$x^2+\frac{100}{x^2}=29.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$x^4-29x^2+100=0.$$
   Пусть $$u=x^2,$$ тогда
   $$u^2-29u+100=0,$$
   $$D=29^2-4\cdot 100=441,$$
   $$u=\frac{29\pm 21}{2}.$$
   Значит,
   $$u_1=4,\quad u_2=25.$$
   Тогда
   $$x=\pm 2 \quad \text{или} \quad x=\pm 5.$$
   По формуле $$y=\frac{2}{x}$$ получаем:
   $$(-2,-1),\ (2,1),\ (-5,-0{,}4),\ (5,0{,}4).$$

Ответ

1) $$(-2;\,-5),\ (5;\,2)$$

2) $$(-5;\,-13),\ (3;\,3),\ (-3;\,-3),\ (5;\,13)$$

3) $$(-2;\,-6),\ (2;\,6)$$

4) $$(-\sqrt{3};\,-1),\ (-\sqrt{3};\,1),\ (\sqrt{3};\,-1),\ (\sqrt{3};\,1)$$

5) $$\left(-\frac{27}{20};\ \frac{25}{4}\right),\ (-1;\,8)$$

6) $$(-2;\,-1),\ (2;\,1),\ (-5;\,-0{,}4),\ (5;\,0{,}4)$$