Упр.131 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) x^2+y^2-2xy=36
x+y=-4
2) x^2+6xy+9y^2=4
x^2-xy-4y^2=-2
3) x^2+xy=6
xy+y^2=3
4) x^2-6y^2=-5
x^2+6y^2=7
5) 2x+3xy=-20
y-3xy=28
6) 4x^2+y^2=13
xy=-3

1. $$\begin{cases} x^2+y^2-2xy=36,\\ x+y=-4 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x^2+y^2-2xy=(x-y)^2,$$
   значит
   $$(x-y)^2=36,$$
   $$x-y=\pm 6.$$
   Решаем две системы:
   $$\begin{cases} x+y=-4,\\ x-y=6 \end{cases} \Rightarrow x=1,\ y=-5;$$
   $$\begin{cases} x+y=-4,\\ x-y=-6 \end{cases} \Rightarrow x=-5,\ y=1.$$
2. $$\begin{cases} x^2+6xy+9y^2=4,\\ x^2-xy-4y^2=-2 \end{cases}$$
   Первое уравнение:
   $$(x+3y)^2=4,$$
   $$x+3y=\pm 2,$$
   $$x=\pm 2-3y.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$ (\pm 2-3y)^2-(\pm 2-3y)y-4y^2=-2.$$
   Получаем:
   $$4y^2+7y+3=0.$$
   Тогда
   $$D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=1,$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=-\frac34,\quad y_3=\frac34,\quad y_4=1.$$
   Находим соответствующие значения $x$:
   $$x=2-3(-1)=1,$$
   $$x=-2-3\left(-\frac34\right)=\frac14,$$
   $$x=2-3\left(\frac34\right)=-\frac14,$$
   $$x=-2-3\cdot 1=-1.$$
3. $$\begin{cases} x^2+xy=6,\\ xy+y^2=3 \end{cases}$$
   Запишем так:
   $$x(x+y)=6,\qquad y(x+y)=3.$$
   Делим первое уравнение на второе:
   $$\frac{x}{y}=2,$$
   значит
   $$x=2y.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$y(2y+y)=3,$$
   $$3y^2=3,$$
   $$y=\pm 1.$$
   Тогда
   $$x=2y=\pm 2.$$
4. $$\begin{cases} x^2-6y^2=-5,\\ x^2+6y^2=7 \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$2x^2=2,$$
   $$x^2=1,$$
   $$x=\pm 1.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$1+6y^2=7,$$
   $$6y^2=6,$$
   $$y^2=1,$$
   $$y=\pm 1.$$
5. $$\begin{cases} 2x+3xy=-20,\\ y-3xy=28 \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$2x+y=8,$$
   $$y=8-2x.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$(8-2x)-3x(8-2x)=28,$$
   $$6x^2-26x-20=0,$$
   $$3x^2-13x-10=0.$$
   $$D=13^2-4\cdot 3\cdot(-10)=289,$$
   $$x_1=\frac{13-17}{6}=-\frac23,\quad x_2=\frac{13+17}{6}=5.$$
   Тогда
   $$y_1=8-2\left(-\frac23\right)=\frac{28}{3},\quad y_2=8-2\cdot 5=-2.$$
6. $$\begin{cases} 4x^2+y^2=13,\\ xy=-3 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=-\frac{3}{x}.$$
   Подставим в первое:
   $$4x^2+\left(-\frac{3}{x}\right)^2=13,$$
   $$4x^2+\frac{9}{x^2}=13.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$4x^4-13x^2+9=0.$$
   Пусть $$u=x^2$$. Тогда
   $$4u^2-13u+9=0.$$
   $$D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=25,$$
   $$u_1=1,\quad u_2=\frac94.$$
   Значит,
   $$x=\pm 1,\quad x=\pm \frac32.$$
   По формуле $$y=-\frac{3}{x}$$ получаем:
   $$(-1,3),\ (1,-3),\ \left(-\frac32,2\right),\ \left(\frac32,-2\right).$$

Ответ

1) $$(-5;1),\ (1;-5)$$
2) $$\left(1;-1\right),\ \left(\frac14;-\frac34\right),\ \left(-\frac14;\frac34\right),\ (-1;1)$$
3) $$(-2;-1),\ (2;1)$$
4) $$(-1;-1),\ (-1;1),\ (1;-1),\ (1;1)$$
5) $$\left(-\frac23;\frac{28}{3}\right),\ (5;-2)$$
6) $$(-1;3),\ (1;-3),\ \left(-\frac32;2\right),\ \left(\frac32;-2\right)$$