Упр.130 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Прямой y=3x-1 и параболы y=x^2-2x+3
2) Прямой 2x+y+9=0 и окружности (x+2)^2+y^2=10
3) Прямой y=-x+1 и окружности x^2+(y+3)^2=8
4) Прямой y=2x^2-8x+10 и y=1+4x-2x^2

1. Найдём точки пересечения прямой $$y=3x-1$$ и параболы $$y=x^2-2x+3$$:

   $$3x-1=x^2-2x+3$$
   $$x^2-5x+4=0$$
   $$D=25-16=9$$
   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$
   $$x_1=1,\quad x_2=4$$

   При $$x=1$$: $$y=3\cdot 1-1=2$$.
   При $$x=4$$: $$y=3\cdot 4-1=11$$.

   Точки пересечения: $$\left(1;2\right)$$ и $$\left(4;11\right)$$.

2. Найдём точки пересечения прямой $$2x+y+9=0$$ и окружности $$\left(x+2\right)^2+y^2=10$$.

   Из уравнения прямой:
   $$y=-2x-9$$

   Подставим в уравнение окружности:
   $$\left(x+2\right)^2+\left(-2x-9\right)^2=10$$
   $$x^2+4x+4+4x^2+36x+81=10$$
   $$5x^2+40x+75=0$$
   $$x^2+8x+15=0$$
   $$\left(x+3\right)\left(x+5\right)=0$$
   $$x_1=-3,\quad x_2=-5$$

   При $$x=-3$$: $$y=-2\cdot(-3)-9=-3$$.
   При $$x=-5$$: $$y=-2\cdot(-5)-9=1$$.

   Точки пересечения: $$\left(-5;1\right)$$ и $$\left(-3;-3\right)$$.

3. Найдём точки пересечения прямой $$y=-x+1$$ и окружности $$x^2+\left(y+3\right)^2=8$$.

   Подставим $$y=-x+1$$:
   $$x^2+\left(-x+1+3\right)^2=8$$
   $$x^2+\left(4-x\right)^2=8$$
   $$x^2+16-8x+x^2=8$$
   $$2x^2-8x+8=0$$
   $$x^2-4x+4=0$$
   $$\left(x-2\right)^2=0$$
   $$x=2$$

   Тогда
   $$y=-2+1=-1$$.

   Точка пересечения: $$\left(2;-1\right)$$.

4. Найдём точки пересечения парабол $$y=2x^2-8x+10$$ и $$y=1+4x-2x^2$$.

   Приравняем:
   $$2x^2-8x+10=1+4x-2x^2$$
   $$4x^2-12x+9=0$$
   $$\left(2x-3\right)^2=0$$
   $$x=\frac{3}{2}$$

   Тогда
   $$y=2\left(\frac{3}{2}\right)^2-8\cdot\frac{3}{2}+10=2.5$$

   Точка пересечения: $$\left(1.5;2.5\right)$$.

Ответ

1) $$\left(1;2\right),\ \left(4;11\right)$$; 2) $$\left(-5;1\right),\ \left(-3;-3\right)$$; 3) $$\left(2;-1\right)$$; 4) $$\left(1.5;2.5\right)$$.