Упр.130 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Прямой y=1-5x и параболы y=x^2+x-6
2) Прямой x-y-5=0 и окружности (x-3)^2+(y+1)^2=13
3) Прямой y=-3x+10 и окружности x^2+y^2=10
4) Прямой y=4x^2+4x+1 и y=-2x^2-4x-3

1. Найдём точки пересечения прямой $$y=1-5x$$ и параболы $$y=x^2+x-6$$.

   Приравняем выражения для $$y$$:

   $$1-5x=x^2+x-6$$

   $$x^2+6x-7=0$$

   $$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64$$

   $$x_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}$$

   $$x_1=-7,\quad x_2=1$$

   Найдём соответствующие значения $$y$$:

   $$y_1=1-5\cdot(-7)=36,\quad y_2=1-5\cdot 1=-4$$

   Точки пересечения: $$(-7; 36)$$ и $$ (1; -4)$$.

2. Найдём точки пересечения прямой $$x-y-5=0$$ и окружности $$ (x-3)^2+(y+1)^2=13$$.

   Из уравнения прямой:

   $$x=y+5$$

   Подставим в уравнение окружности:

   $$((y+5)-3)^2+(y+1)^2=13$$

   $$ (y+2)^2+(y+1)^2=13$$

   $$y^2+4y+4+y^2+2y+1=13$$

   $$2y^2+6y-8=0$$

   $$y^2+3y-4=0$$

   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$

   $$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}$$

   $$y_1=-4,\quad y_2=1$$

   Тогда:

   $$x_1=-4+5=1,\quad x_2=1+5=6$$

   Точки пересечения: $$ (1; -4)$$ и $$ (6; 1)$$.

3. Найдём точки пересечения прямой $$y=-3x+10$$ и окружности $$x^2+y^2=10$$.

   Подставим выражение для $$y$$ в уравнение окружности:

   $$x^2+(-3x+10)^2=10$$

   $$x^2+9x^2-60x+100=10$$

   $$10x^2-60x+90=0$$

   $$x^2-6x+9=0$$

   $$ (x-3)^2=0$$

   $$x=3$$

   Тогда

   $$y=-3\cdot 3+10=1$$

   Точка пересечения: $$ (3; 1)$$.

4. Найдём точки пересечения графиков $$y=4x^2+4x+1$$ и $$y=-2x^2-4x-3$$.

   Приравняем правые части:

   $$4x^2+4x+1=-2x^2-4x-3$$

   $$6x^2+8x+4=0$$

   $$3x^2+4x+2=0$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D=4^2-4\cdot 3\cdot 2=16-24=-8$$

   Так как $$D<0$$, действительных корней нет, значит, графики не пересекаются.

Ответ

1) $$(-7; 36),\ (1; -4)$$

2) $$ (1; -4),\ (6; 1)$$

3) $$ (3; 1)$$

4) Точек пересечения нет.