Упр.129 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) x=2+y
y^2-2xy=3
2) x+y=7
xy=12
3) y+4x=6
x^2+3xy-y^2=3
4) x^2-xy+y=16
3y-x=14

1. $$x=2+y,$$
   $$y^2-2xy=3.$$

   Подставим $$x=2+y$$ во второе уравнение:

   $$ y^2-2y(2+y)=3 $$
   $$ y^2-4y-2y^2=3 $$
   $$ y^2+4y+3=0 $$
   $$ (y+1)(y+3)=0 $$
   $$y=-1 \text{ или } y=-3.$$

   Тогда

   $$x=2+y \Rightarrow x=1 \text{ или } x=-1.$$

   Получаем решения:

   $$(-1;\,-3),\ (1;\,-1).$$

2. $$x+y=7,$$
   $$xy=12.$$

   Выразим $$y$$:

   $$y=7-x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ x(7-x)=12 $$
   $$ x^2-7x+12=0 $$
   $$ (x-3)(x-4)=0 $$
   $$x=3 \text{ или } x=4.$$

   Тогда

   $$y=4 \text{ или } y=3.$$

   Ответы:

   $$(3;\,4),\ (4;\,3).$$

3. $$y+4x=6,$$
   $$x^2+3xy-y^2=3.$$

   Из первого уравнения:

   $$y=6-4x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ x^2+3x(6-4x)-(6-4x)^2=3 $$
   $$ x^2+18x-12x^2-(36-48x+16x^2)=3 $$
   $$ -27x^2+66x-39=0 $$
   $$ 9x^2-22x+13=0 $$
   $$ (9x-13)(x-1)=0 $$
   $$x=1 \text{ или } x=\frac{13}{9}.$$

   Тогда

   $$y=6-4x \Rightarrow y=2 \text{ или } y=\frac{2}{9}.$$

   Ответы:

   $$(1;\,2),\ \left(\frac{13}{9};\,\frac{2}{9}\right).$$

4. $$x^2-xy+y=16,$$
   $$3y-x=14.$$

   Из второго уравнения:

   $$x=3y-14.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$ (3y-14)^2-y(3y-14)+y=16 $$
   $$ 9y^2-84y+196-3y^2+14y+y=16 $$
   $$ 6y^2-69y+180=0 $$
   $$ 2y^2-23y+60=0 $$
   $$ (2y-15)(y-4)=0 $$
   $$y=4 \text{ или } y=\frac{15}{2}.$$

   Тогда

   $$x=3y-14 \Rightarrow x=-2 \text{ или } x=\frac{17}{2}.$$

   Ответы:

   $$(-2;\,4),\ \left(\frac{17}{2};\,\frac{15}{2}\right).$$

5. $$2x+3y=3,$$
   $$3y^2-4x=18.$$

   Из первого уравнения:

   $$x=\frac{3-3y}{2}=\frac{3}{2}(1-y).$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ 3y^2-4\cdot \frac{3}{2}(1-y)=18 $$
   $$ 3y^2-6+6y=18 $$
   $$ 3y^2+6y-24=0 $$
   $$ y^2+2y-8=0 $$
   $$ (y+4)(y-2)=0 $$
   $$y=-4 \text{ или } y=2.$$

   Тогда

   $$x=\frac{3}{2}(1-y) \Rightarrow x=\frac{15}{2} \text{ или } x=-\frac{3}{2}.$$

   Ответы:

   $$\left(\frac{15}{2};\,-4\right),\ \left(-\frac{3}{2};\,2\right).$$

6. $$5x+y=-7,$$
   $$(x+4)(y-5)=-4.$$

   Из первого уравнения:

   $$y=-7-5x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ (x+4)(-7-5x-5)=-4 $$
   $$ (x+4)(-5x-12)=-4 $$
   $$ -5x^2-32x-48=-4 $$
   $$ 5x^2+32x+44=0 $$
   $$ (5x+22)(x+2)=0 $$
   $$x=-\frac{22}{5} \text{ или } x=-2.$$

   Тогда

   $$y=-7-5x \Rightarrow y=15 \text{ или } y=3.$$

   Ответы:

   $$\left(-\frac{22}{5};\,15\right),\ (-2;\,3).$$

Ответ

1) $$(-1;\,-3),\ (1;\,-1)$$
2) $$(3;\,4),\ (4;\,3)$$
3) $$(1;\,2),\ \left(\frac{13}{9};\,\frac{2}{9}\right)$$
4) $$(-2;\,4),\ \left(\frac{17}{2};\,\frac{15}{2}\right)$$
5) $$\left(\frac{15}{2};\,-4\right),\ \left(-\frac{3}{2};\,2\right)$$
6) $$\left(-\frac{22}{5};\,15\right),\ (-2;\,3)$$