Упр.127 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) xy=6
x-y=5
2) y=x^2+2x-2
y=2-х
3) x^2+y=5
x-y=7
4) x^2+y^2=10
y=х-2
5)(x-3)^2+(y+1)^2=13
x-y-5=0
6) x^2+y^2=20
xy=3

1. $$\begin{cases} xy=6,\\ x-y=5 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x-5.$$
   Подставим в первое:
   $$x(x-5)=6,$$
   $$x^2-5x-6=0,$$
   $$\left(x-6\right)\left(x+1\right)=0.$$
   Тогда
   $$x=6 \text{ или } x=-1.$$
   Найдём $y$:
   $$x=6 \Rightarrow y=1,$$
   $$x=-1 \Rightarrow y=-6.$$

2. $$\begin{cases} y=x^2+2x-2,\\ y=2-x \end{cases}$$
   Приравняем правые части:
   $$x^2+2x-2=2-x,$$
   $$x^2+3x-4=0,$$
   $$\left(x+4\right)\left(x-1\right)=0.$$
   Тогда
   $$x=-4 \text{ или } x=1.$$
   Найдём $y$:
   $$x=-4 \Rightarrow y=6,$$
   $$x=1 \Rightarrow y=1.$$

3. $$\begin{cases} x^2+y=5,\\ x-y=7 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x-7.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2+x-7=5,$$
   $$x^2+x-12=0,$$
   $$\left(x+4\right)\left(x-3\right)=0.$$
   Тогда
   $$x=-4 \text{ или } x=3.$$
   Найдём $y$:
   $$x=-4 \Rightarrow y=-11,$$
   $$x=3 \Rightarrow y=-4.$$

4. $$\begin{cases} x^2+y^2=10,\\ y=x-2 \end{cases}$$
   Подставим $y=x-2$ в первое уравнение:
   $$x^2+\left(x-2\right)^2=10,$$
   $$x^2+x^2-4x+4=10,$$
   $$2x^2-4x-6=0,$$
   $$x^2-2x-3=0,$$
   $$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0.$$
   Тогда
   $$x=3 \text{ или } x=-1.$$
   Найдём $y$:
   $$x=3 \Rightarrow y=1,$$
   $$x=-1 \Rightarrow y=-3.$$

5. $$\begin{cases} \left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=13,\\ x-y-5=0 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x-5.$$
   Подставим в первое:
   $$\left(x-3\right)^2+\left(x-4\right)^2=13,$$
   $$x^2-6x+9+x^2-8x+16=13,$$
   $$2x^2-14x+12=0,$$
   $$x^2-7x+6=0,$$
   $$\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0.$$
   Тогда
   $$x=1 \text{ или } x=6.$$
   Найдём $y$:
   $$x=1 \Rightarrow y=-4,$$
   $$x=6 \Rightarrow y=1.$$

6. $$\begin{cases} x^2+y^2=20,\\ xy=3 \end{cases}$$
   Обозначим $s=x+y$. Тогда
   $$\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2=20+2\cdot 3=26,$$
   $$s^2=26,$$
   $$s=\pm\sqrt{26}.$$
   Числа $x$ и $y$ — корни уравнения
   $$t^2-st+3=0.$$
   При $s=\sqrt{26}$:
   $$t^2-\sqrt{26}\,t+3=0,$$
   $$t=\frac{\sqrt{26}\pm\sqrt{26-12}}{2}=\frac{\sqrt{26}\pm\sqrt{14}}{2}.$$
   При $s=-\sqrt{26}$ получаем те же пары, но с перестановкой местами. Значит,
   $$\left(x,y\right)=\left(\frac{\sqrt{26}+\sqrt{14}}{2},\frac{\sqrt{26}-\sqrt{14}}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt{26}-\sqrt{14}}{2},\frac{\sqrt{26}+\sqrt{14}}{2}\right),$$
   $$\left(x,y\right)=\left(-\frac{\sqrt{26}+\sqrt{14}}{2},-\frac{\sqrt{26}-\sqrt{14}}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{26}-\sqrt{14}}{2},-\frac{\sqrt{26}+\sqrt{14}}{2}\right).$$

Ответ

1) $$(-1;\,-6),\ (6;\,1)$$
2) $$(-4;\,6),\ (1;\,1)$$
3) $$(-4;\,-11),\ (3;\,-4)$$
4) $$(-1;\,-3),\ (3;\,1)$$
5) $$\left(1;\,-4\right),\ \left(6;\,1\right)$$
6) $$\left(\frac{\sqrt{26}+\sqrt{14}}{2};\frac{\sqrt{26}-\sqrt{14}}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt{26}-\sqrt{14}}{2};\frac{\sqrt{26}+\sqrt{14}}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{26}+\sqrt{14}}{2};-\frac{\sqrt{26}-\sqrt{14}}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{26}-\sqrt{14}}{2};-\frac{\sqrt{26}+\sqrt{14}}{2}\right)$$