Упр.126 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) |x^2+2x-4| < 4;
2) |x^2-6x| > 7;
3) |x+3|(x-6) > =4x;
4) x^2+9|x| < 10;
5) x^2-4x+6 > |x+2|;
6) x^2-3|x-3|+8 < =5|x+2|;
$$|x^2+2x-4|<4$$
Рассмотрим два случая:
$$x^2+2x-4<4 \quad \text{и} \quad x^2+2x-4>-4.$$1) $$x^2+2x-8<0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$
$$x_1=-4,\; x_2=2,$$
значит,
$$-4<x<2.$$2) $$x^2+2x>0$$
$$x(x+2)>0,$$
откуда
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>0.$$Пересекаем полученные промежутки:
$$x\in(-4;-2)\cup(0;2).$$$$|x^2-6x|>7$$
Если $$x^2-6x\ge 0,$$ то
$$x^2-6x>7,$$
то есть
$$x^2-6x-7>0.$$
Корни:
$$x_1=-1,\; x_2=7,$$
значит,
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>7.$$Если $$x^2-6x<0,$$ то
$$x^2-6x<-7,$$
то есть
$$x^2-6x+7<0.$$
Корни:
$$x=3\pm \sqrt2,$$
значит,
$$3-\sqrt2<x<3+\sqrt2.$$С учётом условия знака под модулем получаем:
$$x\in(-\infty;-1)\cup(3-\sqrt2;3+\sqrt2)\cup(7;+\infty).$$$$|x+3|(x-6)\ge 4x$$
1) Если $$x\ge -3,$$ то $$|x+3|=x+3$$ и
$$ (x+3)(x-6)\ge 4x.$$
Тогда
$$x^2-7x-18\ge 0,$$
$$D=49+72=121,$$
$$x_1=-2,\; x_2=9,$$
значит,
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 9.$$
С учётом $$x\ge -3$$ получаем
$$x\in[-3;-2]\cup[9;+\infty).$$2) Если $$x<-3,$$ то $$|x+3|=-(x+3)$$ и
$$-(x+3)(x-6)\ge 4x.$$
Тогда
$$x^2+x-18\le 0,$$
$$D=1+72=73,$$
$$x=\frac{-1\pm \sqrt{73}}{2}.$$
Следовательно,
$$\frac{-1-\sqrt{73}}{2}\le x\le \frac{-1+\sqrt{73}}{2}.$$
С учётом $$x<-3$$ получаем
$$x\in\left[\frac{-1-\sqrt{73}}{2};-3\right).$$Объединяя, имеем
$$x\in\left[\frac{-1-\sqrt{73}}{2};-2\right]\cup[9;+\infty).$$$$x^2+9|x|<10$$
Если $$x\ge 0,$$ то
$$x^2+9x<10,$$
$$x^2+9x-10<0,$$
$$D=121,$$
$$x_1=-10,\; x_2=1,$$
значит,
$$-10<x<1.$$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем
$$x\in[0;1).$$Если $$x<0,$$ то
$$x^2-9x<10,$$
$$x^2-9x-10<0,$$
$$D=121,$$
$$x_1=-1,\; x_2=10,$$
значит,
$$-1<x<10.$$
С учётом $$x<0$$ получаем
$$x\in(-1;0).$$Итак,
$$x\in(-1;1).$$$$x^2-4x+6>|x+2|$$
Если $$x\ge -2,$$ то $$|x+2|=x+2$$ и
$$x^2-4x+6>x+2,$$
$$x^2-5x+4>0,$$
$$D=9,$$
$$x_1=1,\; x_2=4,$$
значит,
$$x<1 \quad \text{или} \quad x>4.$$
С учётом $$x\ge -2$$ получаем
$$x\in[-2;1)\cup(4;+\infty).$$Если $$x<-2,$$ то $$|x+2|=-(x+2)$$ и
$$x^2-4x+6>-x-2,$$
$$x^2-3x+8>0.$$
Здесь
$$D=9-32=-23<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит неравенство верно при всех $$x.$$
С учётом $$x<-2$$ получаем
$$x\in(-\infty;-2).$$Итак,
$$x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty).$$$$x^2-3|x-3|+8\le 5|x+2|$$
Рассмотрим три промежутка.
1) Если $$x\ge 3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ $$|x+2|=x+2,$$ и
$$x^2-3(x-3)+8\le 5(x+2).$$
Тогда
$$x^2-8x+7\le 0,$$
$$D=36,$$
$$x_1=1,\; x_2=7,$$
значит,
$$1\le x\le 7.$$
С учётом $$x\ge 3$$ получаем
$$x\in[3;7].$$2) Если $$-2\le x<3,$$ то $$|x-3|=3-x,$$ $$|x+2|=x+2,$$ и
$$x^2+3(3-x)+8\le 5(x+2).$$
Тогда
$$x^2-8x+7\le 0,$$
откуда
$$1\le x\le 7.$$
С учётом $$-2\le x<3$$ получаем
$$x\in[1;3).$$3) Если $$x<-2,$$ то $$|x-3|=3-x,$$ $$|x+2|=-(x+2),$$ и
$$x^2+3(3-x)+8\le -5(x+2).$$
Тогда
$$x^2+2x+9\le 0,$$
$$D=4-36=-32<0,$$
значит, решений нет.Объединяя, получаем
$$x\in[1;7].$$
Ответ
1) $$x\in(-4;-2)\cup(0;2)$$
2) $$x\in(-\infty;-1)\cup(3-\sqrt2;3+\sqrt2)\cup(7;+\infty)$$
3) $$x\in\left[\frac{-1-\sqrt{73}}{2};-2\right]\cup[9;+\infty)$$
4) $$x\in(-1;1)$$
5) $$x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty)$$
6) $$x\in[1;7]$$
