Упр.126 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) |x^2-x-8| < 12;
2) |x^2-2x| > =3;
3) |x-3|(x+1) > =4x;
4) x^2-2|x| < 15;
5) x^2-7x+12 > |x-4|;
6) |x|•|x-3|+x-2 < 0;
$$|x^2-x-8|<12$$
Рассмотрим два случая.
Если $$x^2-x-8\ge 0,$$ то
$$x^2-x-8<12$$
$$x^2-x-20<0$$
$$D=1+80=81,$$
$$x_1=-4,\quad x_2=5,$$
значит, $$-4<x<5.$$
Если $$x^2-x-8<0,$$ то
$$x^2-x-8>-12$$
$$x^2-x+4>0.$$
Так как $$D=1-16=-15<0,$$ а старший коэффициент положителен, неравенство верно при всех $$x.$$
Следовательно, $$x\in(-4;5).$$
$$|x^2-2x|\ge 3$$
Если $$x^2-2x\ge 0,$$ то $$x\le 0$$ или $$x\ge 2.$$ Тогда
$$x^2-2x\ge 3$$
$$x^2-2x-3\ge 0$$
$$ (x+1)(x-3)\ge 0,$$
откуда $$x\le -1$$ или $$x\ge 3.$$
Если $$0<x<2,$$ то $$x^2-2x<0,$$ и
$$x^2-2x\le -3$$
$$x^2-2x+3\le 0.$$
Но $$D=4-12=-8<0,$$ значит, решений нет.
Итак, $$x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$
$$|x-3|(x+1)\ge 4x$$
Если $$x\ge 3,$$ то
$$ (x-3)(x+1)\ge 4x$$
$$x^2-6x-3\ge 0.$$
Корни уравнения $$x^2-6x-3=0$$:
$$x=3\pm 2\sqrt3.$$
Тогда при $$x\ge 3$$ получаем $$x\ge 3+2\sqrt3.$$
Если $$x<3,$$ то
$$-(x-3)(x+1)\ge 4x$$
$$x^2+2x-3\le 0$$
$$ (x+3)(x-1)\le 0,$$
откуда $$-3\le x\le 1.$$
Итак, $$x\in[-3;1]\cup[3+2\sqrt3;+\infty).$$
$$x^2-2|x|<15$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x^2-2x<15$$
$$x^2-2x-15<0$$
$$ (x+3)(x-5)<0,$$
откуда $$-3<x<5.$$ С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x<5.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$x^2+2x<15$$
$$x^2+2x-15<0$$
$$ (x+5)(x-3)<0,$$
откуда $$-5<x<3.$$ С учётом $$x<0$$ получаем $$-5<x<0.$$
Следовательно, $$x\in(-5;5).$$
$$x^2-7x+12>|x-4|$$
Если $$x\ge 4,$$ то
$$x^2-7x+12>x-4$$
$$x^2-8x+16>0$$
$$ (x-4)^2>0,$$
значит, $$x\ne 4.$$ При $$x\ge 4$$ получаем $$x>4.$$
Если $$x<4,$$ то
$$x^2-7x+12>-(x-4)$$
$$x^2-6x+8>0$$
$$ (x-2)(x-4)>0,$$
откуда $$x<2$$ или $$x>4.$$ С учётом $$x<4$$ получаем $$x<2.$$
Итак, $$x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty).$$
$$|x|\cdot|x-3|+x-2<0$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge 3,$$ то
$$x(x-3)+x-2<0$$
$$x^2-2x-2<0$$
$$x^2-2x-2=0,$$
$$x=1\pm\sqrt3.$$
Тогда $$1-\sqrt3<x<1+\sqrt3,$$ а с учётом $$x\ge 3$$ решений нет.
Если $$0\le x<3,$$ то
$$x(3-x)+x-2<0$$
$$-x^2+4x-2<0$$
$$x^2-4x+2>0$$
$$ (x-(2-\sqrt2))(x-(2+\sqrt2))>0,$$
откуда $$x<2-\sqrt2$$ или $$x>2+\sqrt2.$$ С учётом $$0\le x<3$$ получаем $$0\le x<2-\sqrt2.$$
Если $$x<0,$$ то
$$(-x)(3-x)+x-2<0$$
$$x^2-4x+2>0,$$
откуда $$x<2-\sqrt2$$ или $$x>2+\sqrt2.$$ С учётом $$x<0$$ получаем все $$x<0.$$
Итак, $$x\in(-\infty;2-\sqrt2).$$
Ответ
1) $$x\in(-4;5)$$; 2) $$x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$; 3) $$x\in[-3;1]\cup[3+2\sqrt3;+\infty)$$; 4) $$x\in(-5;5)$$; 5) $$x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty)$$; 6) $$x\in(-\infty;2-\sqrt2).$$
