Упр.126 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) |х^2 — х — 3| < 9; 2) |х^2 + Ьх| > 6;
3) |х — 4|(х + 2) > 4х;
4) х^2 — 4|х| < 12; 5) х^2 - 5х + 9 > |х — б|;
6) х^2 + 2|х -1| + 7 < 4|х - 2|.

1. $$|x^2-x-3|<9$$

   Рассмотрим два случая:
   $$x^2-x-3<9 \quad \text{и} \quad x^2-x-3>-9.$$

   Из первого неравенства получаем:
   $$ x^2-x-12<0 $$
   $$ (x+3)(x-4)<0 $$
   $$ -3<x<4. $$

   Из второго неравенства:
   $$ x^2-x+6>0. $$
   Дискриминант отрицателен, а старший коэффициент положителен, значит это неравенство верно при всех $$x$$.

   Следовательно, $$x\in(-3;4).$$

2. $$|x^2+5x|>6$$

   Если $$x^2+5x\ge 0$$, то
   $$ x^2+5x>6 $$
   $$ x^2+5x-6>0 $$
   $$ (x+6)(x-1)>0, $$
   откуда $$x<-6$$ или $$x>1.$$

   Если $$x^2+5x<0$$, то
   $$ x^2+5x<-6 $$
   $$ x^2+5x+6<0 $$
   $$ (x+3)(x+2)<0, $$
   откуда $$-3<x<-2.$$

   Итак, $$x\in(-\infty;-6)\cup(-3;-2)\cup(1;+\infty).$$

3. $$|x-4|(x+2)>4x$$

   Если $$x\ge 4$$, то
   $$ (x-4)(x+2)>4x $$
   $$ x^2-6x-8>0 $$
   $$ (x-(3-\sqrt{17}))(x-(3+\sqrt{17}))>0. $$
   С учётом $$x\ge 4$$ получаем $$x\ge 3+\sqrt{17}.$$

   Если $$x<4$$, то
   $$ -(x-4)(x+2)>4x $$
   $$ x^2+2x-8<0 $$
   $$ (x+4)(x-2)<0, $$
   откуда $$-4<x<2.$$

   Следовательно, $$x\in(-4;2)\cup[3+\sqrt{17};+\infty).$$

4. $$x^2-4|x|<12$$

   Если $$x\ge 0$$, то
   $$ x^2-4x<12 $$
   $$ x^2-4x-12<0 $$
   $$ (x+2)(x-6)<0, $$
   откуда $$-2<x<6.$$
   С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x<6.$$

   Если $$x<0$$, то
   $$ x^2+4x<12 $$
   $$ x^2+4x-12<0 $$
   $$ (x+6)(x-2)<0, $$
   откуда $$-6<x<2.$$
   С учётом $$x<0$$ получаем $$-6<x<0.$$

   Итак, $$x\in(-6;6).$$

5. $$x^2-5x+9>|x-6|$$

   Если $$x\ge 6$$, то
   $$ x^2-5x+9>x-6 $$
   $$ x^2-6x+15>0. $$
   Дискриминант отрицателен, значит неравенство верно при всех $$x$$.

   Если $$x<6$$, то
   $$ x^2-5x+9>-(x-6) $$
   $$ x^2-4x+3>0 $$
   $$ (x-1)(x-3)>0, $$
   откуда $$x<1$$ или $$x>3.$$

   Следовательно, $$x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty).$$

6. $$x^2+2|x-1|+7<4|x-2|$$

   Если $$x\ge 2$$, то
   $$ x^2+2(x-1)+7<4(x-2) $$
   $$ x^2-2x+13<0. $$
   Дискриминант отрицателен, значит решений нет.

   Если $$1\le x<2$$, то
   $$ x^2+2(x-1)+7<4(2-x) $$
   $$ x^2+6x-3<0. $$
   Корни:
   $$ x=-3\pm 2\sqrt{3}. $$
   Тогда
   $$ -3-2\sqrt{3}<x<2\sqrt{3}-3. $$
   С учётом $$1\le x<2$$ получаем
   $$ 1\le x<2\sqrt{3}-3. $$

   Если $$x<1$$, то
   $$ x^2-2(x-1)+7<4(2-x) $$
   $$ x^2+2x+1<0 $$
   $$ (x+1)^2<0, $$
   что невозможно.

   Итак, $$x\in[1;2\sqrt{3}-3).$$

Ответ

1. $$x\in(-3;4)$$
2. $$x\in(-\infty;-6)\cup(-3;-2)\cup(1;+\infty)$$
3. $$x\in(-4;2)\cup[3+\sqrt{17};+\infty)$$
4. $$x\in(-6;6)$$
5. $$x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$$
6. $$x\in[1;2\sqrt{3}-3)$$