Упр.125 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) х^2 — (а — 4)х — 4а > 0;
2) х^2 + (2 — 5а)х + 6а^2 — За — 3 < 0.

1) Рассмотрим неравенство

$$x^2-(a-4)x-4a\ge 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a-4)^2+16a=a^2+8a+16=(a+4)^2.$$

Тогда корни уравнения $$x^2-(a-4)x-4a=0$$ равны

$$x_1=\frac{(a-4)-(a+4)}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{(a-4)+(a+4)}{2}=a.$$

Следовательно,

$$ (x+4)(x-a)\ge 0.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge a,$$

если $$a>-4$$; при $$a=-4$$ получаем $$x^2+8x+16=(x+4)^2\ge 0$$ для всех $$x$$; при $$a<-4$$ порядок корней меняется, и решение записывается как

$$x\le a \quad \text{или} \quad x\ge -4.$$

2) Рассмотрим неравенство

$$x^2+(2-5a)x+6a^2-3a-3<0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2-5a)^2-4(6a^2-3a-3)=a^2-8a+16=(a-4)^2.$$

Корни уравнения $$x^2+(2-5a)x+6a^2-3a-3=0$$:

$$x_1=\frac{-(2-5a)-(a-4)}{2}=2a+1,$$

$$x_2=\frac{-(2-5a)+(a-4)}{2}=3a-3.$$

Тогда

$$ (x-(2a+1))(x-(3a-3))<0.$$

Для отрицательного произведения нужно, чтобы $$x$$ лежал между корнями. Сравним их:

$$2a+1<3a-3 \iff a>4.$$

Если $$a<4$$, то $$3a-3<2a+1$$, и решение:

$$3a-3<x<2a+1.$$

Если $$a=4$$, то корни совпадают, и неравенство решений не имеет.

Если $$a>4$$, то

$$2a+1<x<3a-3.$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;a]\cup[-4;+\infty),\ \text{если } a<-4;\quad x\in(-\infty;+\infty),\ \text{если } a=-4;\quad x\in(-\infty;-4]\cup[a;+\infty),\ \text{если } a>-4.$$

2) $$x\in(3a-3;2a+1),\ \text{если } a<4;\quad x\notin\mathbb{R},\ \text{если } a=4;\quad x\in(2a+1;3a-3),\ \text{если } a>4.$$