Упр.125 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) x^2-(a-2)x-2a > =0;
2) x^2-3ax+2a^2-a-1 < 0;

1) Рассмотрим неравенство $$x^2-(a-2)x-2a\ge 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a-2)^2-4\cdot 1\cdot(-2a)=a^2-4a+4+8a=a^2+4a+4=(a+2)^2.$$

Тогда корни уравнения $$x^2-(a-2)x-2a=0$$ равны:

$$x_1=\frac{(a-2)-(a+2)}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{(a-2)+(a+2)}{2}=a.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$ (x+2)(x-a)\ge 0, $$

откуда:

$$x\le -2 \ \text{или}\ x\ge a,\quad \text{если } a>-2;$$

$$x\in \mathbb{R},\quad \text{если } a=-2;$$

$$x\le a \ \text{или}\ x\ge -2,\quad \text{если } a<-2.$$

2) Рассмотрим неравенство $$x^2-3ax+2a^2-a-1<0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(3a)^2-4(2a^2-a-1)=9a^2-8a^2+4a+4=a^2+4a+4=(a+2)^2.$$

Корни уравнения $$x^2-3ax+2a^2-a-1=0$$:

$$x_1=\frac{3a-(a+2)}{2}=a-1,\qquad x_2=\frac{3a+(a+2)}{2}=2a+1.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то при $$D>0$$ решение неравенства — промежуток между корнями. Сравним корни:

$$a-1<2a+1 \iff a>-2.$$

Если $$a<-2,$$ то порядок корней обратный, и решение записывается как промежуток между ними.

Если $$a=-2,$$ то $$x_1=x_2=-3,$$ а неравенство $$x^2-3ax+2a^2-a-1<0$$ решений не имеет.

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-2]\cup[a;+\infty),\ \text{если } a<-2;$$
$$x\in\mathbb{R},\ \text{если } a=-2;$$
$$x\in(-\infty;a]\cup[-2;+\infty),\ \text{если } a>-2.$$

2) $$x\in(2a+1;\,a-1),\ \text{если } a<-2;$$
$$x\in\varnothing,\ \text{если } a=-2;$$
$$x\in(a-1;\,2a+1),\ \text{если } a>-2.$$