Упр.125 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) х^2 — (а + 3)х + За < 0; 2) х^2 + (1 - 3а)х + 2а2 - За - 2 > 0.

1) Рассмотрим неравенство $$x^2-(a+3)x+3a\le 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a+3)^2-4\cdot 3a=a^2-6a+9=(a-3)^2.$$

Тогда корни уравнения $$x^2-(a+3)x+3a=0$$ равны:

$$x_1=\frac{a+3-(a-3)}{2}=3,\qquad x_2=\frac{a+3+(a-3)}{2}=a.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$x\in [x_1;x_2]$$

при $$x_1\le x_2$$, то есть при $$a\ge 3.$$

Если $$a<3,$$ то корни меняются местами, и решение записывается как отрезок между ними.

Итак:

$$x\in [a;3],\ \text{если } a<3;$$

$$x\in \{3\},\ \text{если } a=3;$$

$$x\in [3;a],\ \text{если } a>3.$$

2) Рассмотрим неравенство $$x^2+(1-3a)x+2a^2-3a-2>0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(1-3a)^2-4(2a^2-3a-2)=a^2+6a+9=(a+3)^2.$$

Корни соответствующего квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-(1-3a)-(a+3)}{2}=a-2,$$

$$x_2=\frac{-(1-3a)+(a+3)}{2}=1+2a.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то

$$x<x_1 \ \text{или}\ x>x_2,$$

но сначала нужно сравнить корни:

$$a-2 \ ? \ 1+2a.$$

Получаем:

$$a-2>1+2a \iff a<-3.$$

Значит, при разных значениях $$a$$ имеем:

$$x\in (-\infty;1+2a)\cup(a-2;+\infty),\ \text{если } a<-3;$$

$$x\in (-\infty;-5)\cup(-5;+\infty),\ \text{если } a=-3;$$

$$x\in (-\infty;a-2)\cup(1+2a;+\infty),\ \text{если } a>-3.$$

Ответ

1) $$x\in [a;3],\ a<3;\quad x\in \{3\},\ a=3;\quad x\in [3;a],\ a>3.$$

2) $$x\in (-\infty;1+2a)\cup(a-2;+\infty),\ a<-3;$$ $$x\in (-\infty;-5)\cup(-5;+\infty),\ a=-3;$$ $$x\in (-\infty;a-2)\cup(1+2a;+\infty),\ a>-3.$$