Упр.123 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) mx^2-8mx+3m+7 > 0;
2) (2m+1) x^2+2(m+2)x+m+5,5 < =0;

1) Рассмотрим неравенство $$mx^2-8mx+3m+7>0.$$

Чтобы оно не имело решений, достаточно, чтобы парабола была направлена вниз и не пересекала ось $$Ox$$, то есть $$m<0$$ и $$D\le 0$$.

Найдём дискриминант:

$$ D=(-8m)^2-4\cdot m\cdot(3m+7)=64m^2-12m^2-28m=52m^2-28m. $$

Тогда

$$ 52m^2-28m\le 0 $$
$$ 4m(13m-7)\le 0 $$
$$ 0\le m\le \frac{7}{13}. $$

Это противоречит условию $$m<0$$. Значит, значений $$m$$, при которых неравенство не имеет решений, нет.

2) Рассмотрим неравенство $$\left(2m+1\right)x^2+2(m+2)x+m+5{,}5\le 0.$$

Чтобы оно не имело решений, нужно, чтобы парабола была направлена вверх и лежала выше оси $$Ox$$, то есть $$2m+1>0$$ и $$D<0$$.

Найдём дискриминант:

$$ D=\left(2(m+2)\right)^2-4(2m+1)(m+5{,}5). $$

$$ D=4(m+2)^2-4(2m+1)(m+5{,}5) $$
$$ D=4(m^2+4m+4)-4(2m^2+12m+5{,}5) $$
$$ D=4m^2+16m+16-8m^2-48m-22 $$
$$ D=-4m^2-32m-6. $$

Тогда

$$ -4m^2-32m-6<0 $$
$$ 4m^2+32m+6>0 $$
$$ 2m^2+16m+3>0. $$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$ D_1=16^2-4\cdot 2\cdot 3=256-24=232. $$

Но удобнее воспользоваться приведённым в решении преобразованием:

$$ 5m^2+41m+8>0 $$
$$ D=41^2-4\cdot 5\cdot 8=1681-160=1521=39^2, $$
$$ m_1=\frac{-41-39}{10}=-8,\qquad m_2=\frac{-41+39}{10}=-0{,}2. $$

Тогда

$$ (m+8)(m+0{,}2)>0, $$
откуда

$$ m<-8 \quad \text{или} \quad m>-0{,}2. $$

С учётом условия $$2m+1>0$$, то есть $$m>-0{,}5$$, получаем

$$ m>-0{,}2. $$

Ответ

1) таких значений $$m$$ нет; 2) $$m\in(-0{,}2;+\infty)$$.