Упр.123 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) mx^2-2mx+m-9 > 0;
2) (3m-4) x^2+2(m-2)x+m-2 < =0;

1) Рассмотрим неравенство $$mx^2-2mx+m-9>0.$$

Чтобы оно не имело решений, достаточно, чтобы парабола была направлена вниз и не пересекала ось абсцисс. Найдём дискриминант:

$$D=(-2m)^2-4\cdot m\cdot (m-9)=4m^2-4m^2+36m=36m.$$

Для отсутствия решений нужно $$D\le 0,$$ то есть

$$36m\le 0 \;\Rightarrow\; m\le 0.$$

При этом ветви параболы направлены вниз, если $$m<0.$$

При $$m=0$$ получаем неравенство $$-9>0,$$ которое также не имеет решений.

Значит,

$$m\in(-\infty;0].$$

2) Рассмотрим неравенство $$ (3m-4)x^2+2(m-2)x+m-2\le 0.$$

Чтобы оно не имело решений, парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось абсцисс, то есть $$D<0$$ и $$3m-4>0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=[2(m-2)]^2-4(3m-4)(m-2).$$

$$D=4(m-2)^2-4(3m-4)(m-2).$$

Вынесем общий множитель:

$$D=4(m-2)\bigl((m-2)-(3m-4)\bigr)=4(m-2)(2-2m).$$

Упростим:

$$D=-8(m-2)(m-1).$$

Тогда условие $$D<0$$ равносильно

$$-8(m-2)(m-1)<0 \;\Rightarrow\; (m-2)(m-1)>0,$$

откуда

$$m<1 \quad \text{или} \quad m>2.$$

Кроме того,

$$3m-4>0 \;\Rightarrow\; m>\frac{4}{3}.$$

Пересекаем условия:

$$\bigl(m<1 \text{ или } m>2\bigr)\cap \left(m>\frac{4}{3}\right)= (2;+\infty).$$

Ответ

1) $$m\in(-\infty;0].$$

2) $$m\in(2;+\infty).$$