Упр.123 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) mx^2+5mx+4m+3 < 0; 2) (3m-2) x^2-2(2m-1)x+2m-1 > =0;

1. Рассмотрим неравенство $$mx^2+5mx+4m+3<0.$$

   Чтобы оно не имело решений, квадратный трехчлен должен быть неотрицателен при всех $$x$$. Для этого при $$m>0$$ нужно, чтобы дискриминант был неположительным:

   $$ D=(5m)^2-4\cdot m\cdot(4m+3)=25m^2-16m^2-12m=9m^2-12m=3m(3m-4). $$

   Тогда

   $$ 3m(3m-4)\le 0 \;\Rightarrow\; 0\le m\le \frac43. $$

   Так как ветви параболы направлены вверх, нужно также $$m>0$$. Следовательно,

   $$ m\in\left(0;\frac43\right]. $$

2. Рассмотрим неравенство $$\left(3m-2\right)x^2-2(2m-1)x+2m-1\ge 0.$$

   Чтобы оно не имело решений, парабола должна быть направлена вниз, а дискриминант — отрицательным.

   Найдём дискриминант:

   $$ D=\left[-2(2m-1)\right]^2-4(3m-2)(2m-1) $$
   $$ =4(2m-1)^2-4(3m-2)(2m-1) $$
   $$ =4\bigl((2m-1)^2-(3m-2)(2m-1)\bigr) $$
   $$ =-8m^2+12m-4. $$

   Требуем

   $$ -8m^2+12m-4<0 $$
   $$ 2m^2-3m+1>0 $$
   $$ (2m-1)(m-1)>0. $$

   Отсюда

   $$ m<\frac12 \quad \text{или} \quad m>1. $$

   Теперь учтём, что ветви параболы направлены вниз:

   $$ 3m-2<0 \;\Rightarrow\; m<\frac23. $$

   Пересечение условий даёт

   $$ m<\frac12. $$

Ответ

1) $$m\in\left(0;\frac43\right]$$;
2) $$m\in\left(-\infty;\frac12\right).$$